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二次函數(shù)的知識點總結(jié)

時間:2024-09-26 10:11:17 總結(jié) 我要投稿
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二次函數(shù)的知識點總結(jié)

  總結(jié)就是對一個時期的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統(tǒng)的回顧和分析的書面材料,它可以給我們下一階段的學習和工作生活做指導,因此,讓我們寫一份總結(jié)吧。那么如何把總結(jié)寫出新花樣呢?下面是小編收集整理的二次函數(shù)的知識點總結(jié),僅供參考,希望能夠幫助到大家。

二次函數(shù)的知識點總結(jié)

  I.定義與定義表達式

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax^2+bx+c

 。╝,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

  II.二次函數(shù)的三種表達式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

  頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

  交點式:y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x,0)和B(x,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

  III.二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質(zhì)

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個頂點P,坐標為:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6.拋物線與x軸交點個數(shù)

  Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

  V.二次函數(shù)與一元二次方程

  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,

  當y=0時,二次函數(shù)為關于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

  此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

  當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減。

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

  (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

  (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x,0)和B(x,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|

  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn).

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