大學(xué)高等數(shù)學(xué)二知識點總結(jié)
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一、極限和連續(xù)
(一)極限
1.知識范圍
(1)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)
數(shù)列數(shù)列極限的定義
唯一性有界性四則運算法則夾逼定理單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理
(2)函數(shù)極限的概念和性質(zhì)
函數(shù)在一點處極限的定義左、右極限及其與極限的關(guān)系χ趨于無窮(χ→∞，χ→+∞，χ→-∞)時函數(shù)的極限函數(shù)極限的幾何意義
唯一性四則運算法則夾逼定理
(3)無窮小量與無窮大量
無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的性質(zhì)無窮小量的比較
(4)兩個重要極限
sinxlimx=1x→0
1lim1+x=ex→∞x
2.要求
(1)了解極限的概念(對極限定義中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函數(shù)在一點處的左極限與右極限以及函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。
(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。
(3)理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系，會進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價)。會運用等價無窮小量代換求極限。
(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
(2)連續(xù)
1.知識范圍
(1)函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點處連續(xù)的定義左連續(xù)和右連續(xù)函數(shù)在一點處連續(xù)的充分必要條件函數(shù)的間斷點
(2)函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性
(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理最大值與最小值定理介值定理(包括零點定理)
(4)初等函數(shù)的連續(xù)性
2.要求
(1)理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握函數(shù)(含分段函數(shù))在一點處的連續(xù)性的判斷方法。
(2)會求函數(shù)的間斷點。
(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會用它們證明一些簡單命題。
(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)的連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學(xué)
(一)導(dǎo)數(shù)與微分
1.知識范圍
(1)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在一點處可導(dǎo)的充分必要條件導(dǎo)數(shù)的幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式
(3)求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法
(4)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的計算
(5)微分微分的定義微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分法則一階微分形式不變性
2.要求
(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。
(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。
(4)掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
(5)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
(6)理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。
(二)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.知識范圍
(1)洛必達(dá)(L’Hospital)法則
(2)函數(shù)增減性的判定法
(3)函數(shù)極值與極值點最大值與最小值
(4)曲線的凹凸性、拐點
(5)曲線的`水平漸近線與鉛直漸近線
2.要求
(1)熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0∞”“0∞”“∞—∞”型未定式的極限的方法。
(2)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。
(3)理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會求解簡單的應(yīng)用問題。
(4)會判定曲線凹凸性，會求曲線的拐點。
(5)會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。
三、一元函數(shù)積分學(xué)
(一)不定積分
1.知識范圍
(1)不定積分原函數(shù)與不定積分的定義不定積分的性質(zhì)
(2)基本積分公式
(3)換元積分法第一換元法(湊微分法)第二換元法
(4)分部積分法
(5)一些簡單有理函數(shù)的積分
2.要求
(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。
(2)熟練掌握不定積分的基本公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限形如2222�！襛xdx、a+xdx的三角代換與簡單的根式代換)
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法
(5)掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。
(二)定積分
1.知識范圍
(1)定積分的概念定積分的定義及其幾何意義可積條件
(2)定積分的性質(zhì)
(3)定積分的計算變上限的定積分牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式換元積分法分部積分法
(4)無窮區(qū)間的廣義積分、收斂、發(fā)散、計算方法
(5)定積分的應(yīng)用平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積
2.要求
(1)理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
(2)掌握定積分的基本性質(zhì)
(3)理解變上限的定積分是上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。
(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式
(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成旋轉(zhuǎn)體的體積。
四、多元函數(shù)微分學(xué)
1.知識范圍
(1)多元函數(shù)多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的幾何意義
(2)二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念
(3)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)全微分
(4)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
(5)二元函數(shù)的無條件極值和條件極值
2.要求
(1)了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。
(2)了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
(3)理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)全微分的求法。
(4)掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
(5)會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。
(6)會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值求解簡單的實際問題。
五、概率論初步
1.知識范圍
(1)事件及其概率隨機事件事件的關(guān)系及其運算概率的古典型定義概率的性質(zhì)條件概率事件的獨立性
(2)隨機變量及其概率分布隨機變量的概念隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量及其概率分布
(3)隨機變量的數(shù)字特征離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望方差標(biāo)準(zhǔn)差
2.要求
(1)了解隨機現(xiàn)象、隨機試驗的基本特點;理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。
(2)掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容(或互斥)關(guān)系及對立關(guān)系。
(3)理解事件之間并(和)、交(積)、差運算的定義，掌握其運算規(guī)律。
(4)理解概率的古典型定義;掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。
(5)會求事件的條件概念;掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。
(6)了解隨機變量的概念及其分布函數(shù)。
(7)理解離散型隨機變量的定義及其概率分布，掌握概率分布的計算方法。
(8)會求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。
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