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數(shù)學必修五的知識點總結
在日常過程學習中,說到知識點,大家是不是都習慣性的重視?知識點也可以理解為考試時會涉及到的知識,也就是大綱的分支。哪些才是我們真正需要的知識點呢?下面是小編為大家整理的數(shù)學必修五的知識點總結,希望對大家有所幫助。
數(shù)學必修五的知識點總結1
【不等關系及不等式】
一、不等關系及不等式知識點
1.不等式的定義
在客觀世界中,量與量之間的不等關系是普遍存在的,我們用數(shù)學符號、、連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關系,含有這些不等號的式子,叫做不等式.
2.比較兩個實數(shù)的大小
兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的`運算性質來定義的,有a-baa-b=0a-ba0,則有a/baa/b=1a/ba
3.不等式的性質
(1)對稱性:ab
(2)傳遞性:ab,ba
(3)可加性:aa+cb+c,ab,ca+c
(4)可乘性:ab,cacb0,c0bd;
(5)可乘方:a0bn(nN,n
(6)可開方:a0
(nN,n2).
注意:
一個技巧
作差法變形的技巧:作差法中變形是關鍵,常進行因式分解或配方.
一種方法
待定系數(shù)法:求代數(shù)式的范圍時,先用已知的代數(shù)式表示目標式,再利用多項式相等的法則求出參數(shù),最后利用不等式的性質求出目標式的范圍。
數(shù)學必修五的知識點總結2
●不等式
1、不等式你會解么?你會解么?如果是寫解集不要忘記寫成集合形式!
2、的解集是(1,3),那么的解集是什么?
3、兩類恒成立問題圖象法——恒成立,則=?
★★★★分離變量法——在[1,3]恒成立,則=?(必考題)
4、線性規(guī)劃問題
(1)可行域怎么作(一定要用直尺和鉛筆)定界——定域——邊界
。2)目標函數(shù)改寫:(注意分析截距與z的關系)
。3)平行直線系去畫
5、基本不等式的形式和變形形式
如a,b為正數(shù),a,b滿足,則ab的.范圍是
6、運用基本不等式求最值要注意:一正二定三相等!
如的最小值是的最小值(不要忘記交代是什么時候取到=。。
一個非常重要的函數(shù)——對勾函數(shù)的圖象是什么?
運用對勾函數(shù)來處理下面問題的最小值是
7、★★兩種題型:
和——倒數(shù)和(1的代換),如x,y為正數(shù),且,求的最小值?
和——積(直接用基本不等式),如x,y為正數(shù),,則的范圍是?
不要忘記x,xy,x2+y2這三者的關系!如x,y為正數(shù),,則的范圍是?
數(shù)學必修五的知識點總結3
(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對應、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對應,而函數(shù)又是一種特殊的映射。
2、對于函數(shù)的概念,應注意如下幾點:
(1)掌握構成函數(shù)的三要素,會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)。
。2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關系式,特別是會求分段函數(shù)的解析式。
。3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數(shù),其中g(x)為內函數(shù),f(u)為外函數(shù)。
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:
。1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f—1(y);
。3)將x,y對換,得反函數(shù)的習慣表達式y(tǒng)=f—1(x),并注明定義域。
注意①:對于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起。
、谑煜さ膽,求f—1(x0)的值,合理利用這個結論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡化運算。
。ǘ、函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對應法則的同時,求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型:
。1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結合實際意義考慮;
。2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可。如:
、俜质降姆帜覆坏脼榱;
、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;
、蹖(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
、苤笖(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
應注意,一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時,定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集)。
。3)已知一個函數(shù)的定義域,求另一個函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域。
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況。
。1)根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關系時,必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學的有關知識尋求函數(shù)的解析式。
(2)有時題設給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù),可設f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設條件,列出方程組,求出a,b即可。
(3)若題設給出復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時,可用換元法求函數(shù)f(x)的表達式,這時必須求出g(x)的值域,這相當于求函數(shù)的定義域。
。4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(—x),等),必須根據(jù)已知等式,再構造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達式。
。ㄈ、函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
(1)直接法:亦稱觀察法,對于結構較為簡單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應用不等式的性質,直接觀察得出函數(shù)的值域。
。2)換元法:運用代數(shù)式或三角換元將所給的復雜函數(shù)轉化成另一種簡單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當根式里一次式時用代數(shù)換元,當根式里是二次式時,用三角換元。
(3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f—1(x)的定義域和值域間的關系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得。
。4)配方法:對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。
。5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧。
。6)判別式法:把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
。7)利用函數(shù)的單調性求值域:當能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性,可采用單調性法求出函數(shù)的值域。
。8)數(shù)形結合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結合求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值。因此求函數(shù)的最值與值域,其實質是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異。
如函數(shù)的值域是(0,16],值是16,無最小值。再如函數(shù)的值域是(—∞,—2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時,函數(shù)的最小值為2?梢姸x域對函數(shù)的值域或最值的影響。
3、函數(shù)的最值在實際問題中的應用
函數(shù)的'最值的應用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”,“利潤”或“面積(體積)(最。钡戎T多現(xiàn)實問題上,求解時要特別關注實際意義對自變量的制約,以便能正確求得最值。
(四)、函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義:對于函數(shù)f(x),如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,都有f(—x)=—f(x)(或f(—x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))。
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點:(1)定義域在數(shù)軸上關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=—f(x)或f(—x)=f(x)是定義域上的恒等式。(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質)。
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)化簡或應用定義的等價形式:
注意如下結論的運用:
。1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),f(|x|)總是偶函數(shù);
(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù),那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函數(shù),f(x)·g(x)是偶函數(shù),類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;
。3)奇偶函數(shù)的復合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù);
。4)奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。
3、有關奇偶性的幾個性質及結論
。1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱。
(2)如要函數(shù)的定義域關于原點對稱且函數(shù)值恒為零,那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
。3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義,則f(0)=0成立。
。4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調函數(shù),則奇(偶)函數(shù)在正負對稱區(qū)間上的單調性是相同(反)的。
(5)若f(x)的定義域關于原點對稱,則F(x)=f(x)+f(—x)是偶函數(shù),G(x)=f(x)—f(—x)是奇函數(shù)。
(6)奇偶性的推廣
函數(shù)y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a—x),則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,即y=f(a+x)為偶函數(shù)。函數(shù)y=f(x)對定義域內的任—x都有f(a+x)=—f(a—x),則y=f(x)的圖象關于點(a,0)成中心對稱圖形,即y=f(a+x)為奇函數(shù)。
學好數(shù)學的方法
學好數(shù)學第一要養(yǎng)成預習的習慣。這是我多年學習數(shù)學的一個好方法,因為提前把老師要講的知識先學一遍,就知道自己哪里不會,學的時候就有重點。當然,如果完全自學就懂更好了。
第二是書后做練習題。預習完不是目的,有時間可以把例題和課后練習題做了,檢查預習情況,如果都會做說明學會了,即使不會還能再聽老師講一遍。
第三個步驟是做老師布置的作業(yè),認真做。做的時候可以把解題過程直接寫在題目旁邊,比如選擇題和填空題,因為解答題有很多空白處可寫。這樣做的好處就是,老師講題時能跟上思路,不容易走神。
第四個學好數(shù)學的方法是整理錯題。每次考試結束后,總會有很多錯題,對于這些題目,我們不要以為上課聽懂了就會做了,看花容易繡花難,親手做過了才知道會不會。而且要把錯的題目對照書本去看,重新學習知識。
第五個提高數(shù)學成績的方法是查缺補漏。在做了大量習題以后,數(shù)學成績有所提高,但還是存在一些不會做的題目,我們要善于發(fā)現(xiàn)哪些類型的題目還存在盲區(qū),然后逐一擊破。
下一個方法是提高數(shù)學分數(shù)段。可能數(shù)學學了一段時間,成績老是上不去,這是要總結差在哪里?基礎題還是拔高題,然后對自己提出高要求,基礎題目爭取不丟分,然后做一些有難度的題目。
第七個數(shù)學提分方法是掌握一些數(shù)學解題思路。數(shù)學很多題目都是有固定的或者是多種解題思想的,大家要善于發(fā)現(xiàn)和總結,比如歸納法、分類討論法等等。
第八個學好數(shù)學的方法是“鉆”。當遇到難題百思不得其解時,學霸們的做法通常是思考一兩天,而學酥的做法則是一掃而過,其中的差別已經(jīng)很明顯了,這也是成績差異的原因所在。
要想提高數(shù)學分數(shù),最明智的做法是,考試遇到不會的題目先放過去,做完其他題目再回過頭來重新做難題。但不能連著放過去好幾道題目,那就有問題了。
最后一個提分方法就是合理安排答題時間,規(guī)定做選擇題和大題各多長時間,然后按照既定時間去做,這樣才能最有效的提高數(shù)學分數(shù)。
數(shù)學集合知識點
1、集合的含義
2、集合的中元素的三個特性:
。1)元素的確定性如:世界上最高的山
(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
。3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
。1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
。2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N_或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大
括號內表示集合的方法。{x∈R|x—3>2},{x|x—3>2}
3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個元素的集合
。2)無限集含有無限個元素的集合
。3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}
數(shù)學必修五的知識點總結4
【差數(shù)列的基本性質】
⑴公差為d的等差數(shù)列,各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d。
⑵公差為d的等差數(shù)列,各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd。
⑶若{a}、為等差數(shù)列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列。
、葘θ魏蝝、n,在等差數(shù)列{a}中有:a=a+(n—m)d,特別地,當m=1時,便得等差數(shù)列的通項公式,此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性、
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等),那么當{a}為等差數(shù)列時,有:a+a+a+…=a+a+a+…。
、使顬閐的等差數(shù)列,從中取出等距離的項,構成一個新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd(k為取出項數(shù)之差)。
、巳绻鹻a}是等差數(shù)列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數(shù)列,其公差為—d;在等差數(shù)列{a}中,a—a=a—a=md、(其中m、k、)
、淘诘炔顢(shù)列中,從第一項起,每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項。
⑼當公差d>0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大;當d<0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減。籨=0時,等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)。
、卧Oa,a,a為等差數(shù)列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠—1),則a=。
【等差數(shù)列前n項和公式S的基本性質】
、艛(shù)列{a}為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列{a}的前n項和S可以寫成S=an+bn的形式(其中a、b為常數(shù))。
⑵在等差數(shù)列{a}中,當項數(shù)為2n(nN)時,S—S=nd,=;當項數(shù)為(2n—1)(n)時,S—S=a,=。
、侨魯(shù)列{a}為等差數(shù)列,則S,S—S,S—S,…仍然成等差數(shù)列,公差為、
、热魞蓚等差數(shù)列{a}、的前n項和分別是S、T(n為奇數(shù)),則=。
、稍诘炔顢(shù)列{a}中,S=a,S=b(n>m),則S=(a—b)。
⑹等差數(shù)列{a}中,是n的一次函數(shù),且點(n,)均在直線y=x+(a—)上。
、擞浀炔顢(shù)列{a}的前n項和為S、①若a>0,公差d<0,則當a≥0且a≤0時,S;②若a<0,公差d>0,則當a≤0且a≥0時,S最小。
【等比數(shù)列的基本性質】
、殴葹閝的等比數(shù)列,從中取出等距離的項,構成一個新數(shù)列,此數(shù)列仍是等比數(shù)列,其公比為q(m為等距離的項數(shù)之差)。
、茖θ魏蝝、n,在等比數(shù)列{a}中有:a=a·q,特別地,當m=1時,便得等比數(shù)列的通項公式,此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性。
、且话愕,如果t,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且t+k,p,…,m+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等),那么當{a}為等比數(shù)列時,有:a、a、a、…=a、a、a、…。
、热魗a}是公比為q的等比數(shù)列,則{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比數(shù)列,其公比分別為|q|}、{q}、{q}、{}。
、扇绻鹻a}是等比數(shù)列,公比為q,那么,a,a,a,…,a,…是以q為公比的等比數(shù)列。
、嗜绻鹻a}是等比數(shù)列,那么對任意在n,都有a·a=a·q>0。
、藘蓚等比數(shù)列各對應項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積。
、坍攓>1且a>0或00且01時,等比數(shù)列為遞減數(shù)列;當q=1時,等比數(shù)列為常數(shù)列;當q<0時,等比數(shù)列為擺動數(shù)列。
【集合】
一、集合有關概念
1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1、元素的確定性;2、元素的互異性;3、元素的無序性
說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。
。2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
。4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示:{}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1、用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
2、集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意啊:常用數(shù)集及其記法:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
關于屬于的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作aA,相反,a不屬于集合A記作a?A
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上、
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法、用確定的.條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
、僬Z言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學式子描述法:例:不等式x—32的解集是{x?R|x—32}或{x|x—32}
4、集合的分類:
1、有限集含有有限個元素的集合
2、無限集含有無限個元素的集合
3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}
二、集合間的基本關系
1、包含關系子集
注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA
2、相等關系(55,且55,則5=5)
實例:設A={x|x2—1=0}B={—1,1}元素相同
結論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B
、偃魏我粋集合是它本身的子集、AA
、谡孀蛹喝绻鸄B,且A1B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
、廴绻鸄B,BC,那么AC
、苋绻鸄B同時BA那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,記為
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集、
三、集合的運算
1、交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集。
記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}、
2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集、記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}、
3、交集與并集的性質:AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB=BA。
4、全集與補集
。1)補集:設S是一個集合,A是S的一個子集(即),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)
。2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集、通常用U來表示。
。3)性質:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)⑶(CUA)A=U
【立體幾何】
柱、錐、臺、球的結構特征
棱柱
定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱。
幾何特征:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
棱錐
定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點字母,如五棱錐
幾何特征:側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
棱臺
定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點
圓柱
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。
圓錐
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。
圓臺
定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。
球體
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉軸,半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
NO、2空間幾何體的三視圖
定義三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關系,即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系,即反映了物體的長度和寬度;
側視圖反映了物體上下、前后的位置關系,即反映了物體的高度和寬度。
NO、3空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法
斜二測畫法特點
、僭瓉砼cx軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;
、谠瓉砼cy軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。
直線與方程
直線的傾斜角
定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°
直線的斜率
定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
過兩點的直線的斜率公式:
。ㄗ⒁庀旅嫠狞c)
。1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;
。2)k與P1、P2的順序無關;
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。
冪函數(shù)
定義
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù),即以底數(shù)為自變量冪為因變量,指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域
當a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當x為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的值域的不同情況如下:在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域
性質
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時,設a=—k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(—∞,0)∪(0,+∞)、因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);
排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負數(shù)。
指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
。1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合,這里的前提是a大于0,對于a不大于0的情況,則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間,因此我們不予考慮。
。2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。
。3)函數(shù)圖形都是下凹的。
。4)a大于1,則指數(shù)函數(shù)單調遞增;a小于1大于0,則為單調遞減的。
(5)可以看到一個顯然的規(guī)律,就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數(shù)的位置,趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。
。7)函數(shù)總是通過(0,1)這點。
(8)顯然指數(shù)函數(shù)無界。
奇偶性
定義
一般地,對于函數(shù)f(x)
。1)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,都有f(—x)=—f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。
。2)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,都有f(—x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
。3)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,f(—x)=—f(x)與f(—x)=f(x)同時成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),稱為既奇又偶函數(shù)。
。4)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個x,f(—x)=—f(x)與f(—x)=f(x)都不能成立,那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù),稱為非奇非偶函數(shù)。
數(shù)學必修五的知識點總結5
排列組合
排列P------和順序有關
組合C-------不牽涉到順序的問題
排列分順序,組合不分
例如把5本不同的書分給3個人,有幾種分法."排列"
把5本書分給3個人,有幾種分法"組合"
1.排列及計算公式
從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).
2.組合及計算公式
從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號
c(n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n個元素被分成k類,每類的'個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為
n!/(n1!_2!_.._k!).
k類元素,每類的個數(shù)無限,從中取出m個元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n為下標,m為上標))
Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標和下標)=n!;0!=1;Pn1(n為下標1為上標)=n
組合(Cnm(n為下標,m為上標))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標)=1;Cn1(n為下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列,從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進行排列。N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘,如9!=9________
從N倒數(shù)r個,表達式應該為n_n-1)_n-2)..(n-r+1);
因為從n到(n-r+1)個數(shù)為n-(n-r+1)=r
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