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經(jīng)典新人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)
一、觀察物體(三)
1、從不同的角度觀察物體，看到的形狀可能是不同的；觀察長(zhǎng)方體或正方體時(shí)，從固定位置最多能看到三個(gè)面。
2、正面、側(cè)面、后面都是相對(duì)的，它是隨著觀察角度的變化而變化。通過(guò)觀察、想象、猜測(cè)，培養(yǎng)空間想象力和思維能力，能正確辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀。
3、觀察物體，從實(shí)物觀察到對(duì)立體圖形的觀察有一個(gè)體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、提高的過(guò)程，建議同學(xué)們先多觀察物體，多畫(huà)觀察到的圖形，有意識(shí)的訓(xùn)練想象能力，逐漸就會(huì)觀察立體圖形了
4、觀察物體，先要確定觀察的方向（常選擇上面、正面、左側(cè)面、右側(cè)面），再確定觀察的形狀，并把它畫(huà)下來(lái)
擺立體圖形時(shí)，可根據(jù)從上面看到的平面圖形擺出底層，再根據(jù)從正面看到的擺出前排圖形，然后根據(jù)從左面看對(duì)后排進(jìn)行修正，最后從不同方向觀察所擺圖形是否符合原題要求
5、擺立體圖形時(shí)，可根據(jù)從上面看到的平面圖形擺出底層，再根據(jù)從正面看到的擺出前排圖形，然后根據(jù)從左面看對(duì)后排進(jìn)行修正，最后從不同方向觀察所擺圖形是否符合原題要求。
6、數(shù)正方體的個(gè)數(shù)時(shí)，為了既不遺漏又不重復(fù)，可分層數(shù)；觀察露在外面的面，應(yīng)弄清從哪幾個(gè)方向看到的是什么圖形，再計(jì)算
7、構(gòu)建空間想象力：
（1）、將兩個(gè)完全一樣的正方體并排放，要求想象畫(huà)出以不同角度看到的樣子（強(qiáng)調(diào)左右面是重合，故只能看見(jiàn)一個(gè)正方形）。
（2）、將一個(gè)正方體和圓柱體并排放，要求想象畫(huà)出從不同角度看到的樣子。
8、動(dòng)手操作，思維拓展
用5個(gè)小正方體擺從正面看到的圖形（你能擺出幾種不同的方法）。（有多少種不同擺法，最少要用多少個(gè)小正方體，最多只能用多少個(gè)小正方體
二、因數(shù)和倍數(shù)
1、整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒(méi)有余數(shù)。
整數(shù)與自然數(shù)的關(guān)系：整數(shù)包括自然數(shù)。
2、因數(shù)、倍數(shù)：大數(shù)能被小數(shù)整除時(shí)，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)。
例：12是6的倍數(shù)，6是12的因數(shù)。
（1）數(shù)a能被b整除，那么a就是b的倍數(shù)，b就是a的因數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在。
（2）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法：成對(duì)地按順序找。
（3）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身。
一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法：依次乘以自然數(shù)。
（4）2、3、5的倍數(shù)特征
1） 個(gè)位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。
2）一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍．．
數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。
3）個(gè)位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。
4）能同時(shí)被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數(shù)）的最大的兩位數(shù)是90，最小的三位數(shù)是120。 同時(shí)滿(mǎn)足2、3、5的倍數(shù)，實(shí)際是求2×3×5=30的倍數(shù)。
5）如果一個(gè)數(shù)同時(shí)是2和5的倍數(shù)，那它的個(gè)位上的數(shù)字一定是0。
3、完全數(shù)：除了它本身以外所有的因數(shù)
的和等于它本身的數(shù)叫做
完全數(shù)。
如：6的因數(shù)有：1、2、3（6除外），剛好1+2+3=6，所以6是完全數(shù)，
小的完全數(shù)有6、28等
4：自然數(shù)按能不能被2整除來(lái)分：奇數(shù)、偶數(shù)。 奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)。叫奇數(shù)。也就是個(gè)位上是1、3、5、7、9的數(shù)。
偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)（0也是偶數(shù)），也就是個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)。
最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0. 關(guān)系： 奇數(shù)+、- 偶數(shù)=奇數(shù) 奇數(shù)+、- 奇數(shù)=偶數(shù) 偶數(shù)+、-偶數(shù)=偶數(shù)。
5、自然數(shù)按因數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1、0四類(lèi). 質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)。
合數(shù)：除了1和它本身還有別的因數(shù)（至少有三個(gè)因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)）。
1： 只有1個(gè)因數(shù)。“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。
0：
最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，連續(xù)的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2、3。
每個(gè)合數(shù)都可以由幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘得到，質(zhì)數(shù)相乘一定得合數(shù)。
20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個(gè)（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有25個(gè)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、
59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以?xún)?nèi)找質(zhì)數(shù)、合數(shù)的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍
數(shù)，是
的就
是合
數(shù)，不
是的
就是
質(zhì)數(shù)。
關(guān)系： 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù) 質(zhì)數(shù)×質(zhì)數(shù)=合數(shù)
6、最大、最小
A的最小因數(shù)是：1； 最小的奇數(shù)是：1；
A的最大因數(shù)是：A； 最小的偶數(shù)是：0；
A的最小倍數(shù)是：A； 最小的質(zhì)數(shù)是：2；
最小的自然數(shù)是：0； 最小的合數(shù)是：4；
7、分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)分解成多個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。
用短除法分解質(zhì)因數(shù) （一個(gè)合數(shù)寫(xiě)．．．
成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式）。
比如：30分解質(zhì)因數(shù)是：（×5）
8、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)非零自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
兩個(gè)質(zhì)數(shù)的互質(zhì)數(shù)：5和7
兩個(gè)合數(shù)的互質(zhì)數(shù)：8和9
一質(zhì)一合的互質(zhì)數(shù)：7和8
兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：
⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；⑵相鄰兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)； ⑶兩個(gè)質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；
⑷2和所有奇數(shù)互質(zhì)； ⑸質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；
三 長(zhǎng)方體和正方體
1、由6個(gè)長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長(zhǎng)方體。兩個(gè)面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。
長(zhǎng)方體特點(diǎn)：
（1）有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，相對(duì)的面的面積相等，相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等。
（2）一個(gè)長(zhǎng)方體最多有6個(gè)面是長(zhǎng)方形，最少有4個(gè)面是長(zhǎng)方形，最多有2個(gè)面是正方形。
2、由6個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。 正方體特點(diǎn)：
（1）正方體有12條棱，它們的長(zhǎng)度都相等。
（2）正方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，每個(gè)面的面積都相等。
（3）正方體可以說(shuō)是長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體，它是一種特殊的長(zhǎng)方體。
3、長(zhǎng)方體、正方體有關(guān)棱長(zhǎng)計(jì)算公式： 長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×44+寬×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4
長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷4－寬 －高 a=L÷4－b－h(huán)
寬=棱長(zhǎng)總和÷4－長(zhǎng) －高 b=L÷4－a－h(huán)
高=棱長(zhǎng)總和÷4－長(zhǎng) －寬 h=L÷4－a－b
正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12 L=a×12
正方體的棱長(zhǎng)=棱長(zhǎng)總和÷12 a=L÷12
4、長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面和總面積叫做它的表面積。
長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh） 無(wú)底（或無(wú)蓋）長(zhǎng)方體表面積= 長(zhǎng)×寬＋（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
無(wú)底又無(wú)蓋長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×高＋寬×高）×2 S=2（ah＋bh） 貼墻紙
正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6
2 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a
生活實(shí)際：
油箱、罐頭盒等都是6個(gè)面
游泳池、魚(yú)缸等都只有5個(gè)面
水管、煙囪等都只有4個(gè)面。
注意1：用刀分開(kāi)物體時(shí)，每分一次增加兩個(gè)面。（表面積相應(yīng)增加）
注意2：長(zhǎng)方體或正方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大幾倍，表面積會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。
（如長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2倍，表面積
就會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍）。
5、物體所占空間的大小叫做物體的體
積。
長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高 長(zhǎng)=體積÷寬÷高 a=V÷b÷h
寬=體積÷長(zhǎng)÷高 b=V÷a÷h 高=體積÷長(zhǎng)÷寬 h=V÷a÷b
正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) V=a×a×a = a3讀作“a的立方”表示3個(gè)a相乘，（即a·a·a）
長(zhǎng)方體或正方體底面的面積叫做底面
積。
長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積×高
用字母表示：V=S h
（橫截面積相當(dāng)于底面積，長(zhǎng)相當(dāng)于高）。
注意：一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)總和相等，但體積不一定相等。
6、箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的
體積，通常叫做他們的容積。
固體一般就用體積單位，計(jì)量液體的體積，如水、油等。
常用的容積單位有升和毫升也可以
寫(xiě)成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
33 （1 L = 1 dm 1 ml = 1 cm）
長(zhǎng)方體或正方體容器容積的計(jì)算方
法，跟體積的計(jì)算方法相同。
但要從容器里面量長(zhǎng)、寬、高。（所
以，對(duì)于同一個(gè)物體，體積大于容積。） 注意：長(zhǎng)方體或正方體的長(zhǎng)、寬、高同時(shí)擴(kuò)大幾倍，體積就會(huì)擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。
（如長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就
會(huì)擴(kuò)大到原來(lái)的8倍）。
*形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，形狀規(guī)則的物體可以用公式直接求體積。
排水法的公式：V物體 =V現(xiàn)在－V
原來(lái)
也可以 V物體 =S×(h現(xiàn)在-
h原來(lái))
V物體 =S×h升高 ×進(jìn)率
7、 高級(jí)單位 低級(jí)單位
低級(jí)單位
高級(jí)單位
進(jìn)率：1立方米=1000立方分米
=1000000立方厘米 （立方相鄰單位進(jìn)率1000）
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米
=10000平方厘米
1平方千米=100公頃=1000000
平方米
注意：長(zhǎng)方體與正方體關(guān)系
把長(zhǎng)方體或正方體截成若干個(gè)小長(zhǎng)方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。
重量單位進(jìn)率，時(shí)間單位進(jìn)率，長(zhǎng)度單位進(jìn)率
×進(jìn)率
【單位換算】 高級(jí)單位 低級(jí)單位
低級(jí)單位
高級(jí)單位
長(zhǎng)度單位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米 （相鄰單位進(jìn)率10）
面積單位：1平方千米=100公頃 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公頃=10000平方米 （平方相鄰單位進(jìn)率100）
質(zhì)量單位：1噸=1000千克 1千克=1000克
人 民 幣：1元=10角 1角=10分 1元=100分
四 分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)
1、分?jǐn)?shù)的意義：一個(gè)物體、一物體等
都可以看作一個(gè)整
體，把這個(gè)整體平均
分成若干份，這樣的
一份或幾份都可以
用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。
2、單位“1”：一個(gè)整體可以用自然數(shù)1
來(lái)表示，通常把它叫
做單位“1”。（把一群
羊平均分成若干份，
一群羊就是單位
“1”。）
3、分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若
干份，表示其中一份
的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。
41如5的分?jǐn)?shù)單位是5
4、分?jǐn)?shù)與除法
AA÷B= （B≠0，除數(shù)不能為0，分母B
4也不能夠?yàn)?） 例如： 4÷5=5
5、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)
1、真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)
第一文庫(kù)網(wǎng)2、假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)≥1
3、帶分?jǐn)?shù)：帶分?jǐn)?shù)由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成的分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)＞1.
4、真分?jǐn)?shù)＜1≤假分?jǐn)?shù) 真分?jǐn)?shù)＜1＜帶分?jǐn)?shù)
6、假分?jǐn)?shù)與整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的互化
（1）假分?jǐn)?shù)化為整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，用分子÷分母，商作為整數(shù)，余數(shù)作為分子，
如：
10211 =10÷5=2 =21÷5=4 555
（2）整數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分母得分子 如：
( 8 )2= 2×4=8 （8作分子） 4
（3）帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，用整數(shù)乘以分
母加分子，得數(shù)就是假分?jǐn)?shù)的分子，
1( 26 )分母不變，如55 = 55
×5+1=26
（4）1等于任何分子和分母相同的分?jǐn)?shù)。如：
23451001= = = = =?= =? 2345100
7、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：
分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。
8、公因數(shù)、最大公因數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個(gè)就叫它們的最大公因數(shù)。
用短除法求兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù) （除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來(lái)）
幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)只有1，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)互質(zhì)。
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。
如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么1就是它們的最大公因數(shù)。
9、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍
數(shù)。其中最小的那個(gè)就叫它們的最小公倍數(shù)。
用短除法求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)）
用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)）
如果兩數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。
如果兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。
10、求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)方法
用12和16來(lái)舉例
（1）、求法一：（列舉求同法）
最大公因數(shù)的求法：
12的因數(shù)有：1、12、2、6、3、4 16的因數(shù)有：1、16、2、8、4 最大公因數(shù)是4
最小公倍數(shù)的求法：
12的倍數(shù)有：12、24、36、48、? 16的倍數(shù)有：16、32、48、? 最小公倍數(shù)是48
（2）、求法二：（分解質(zhì)因數(shù)法） 12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因數(shù)是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍數(shù)是：2×2 × 3×2×2= 48
（3）、求法三：（短除法）
例1：用短除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)。
①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36
想：用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，一般用這兩個(gè)數(shù)除以它們的公因數(shù)，一直除到所得的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)連乘起來(lái)，所得積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)用( )表示。 《最大公因數(shù)就是左邊一邊所有的數(shù)連乘》 解： 2 12 18
3 6 9
2 3 2 17 3410217 51 1 3 51550310 22312243663
11218629 3（15、50）= 5 （12、18）= 2×3＝6 （34、102）= 2×17＝34
（15、24、36）= 2×2×3=12
同時(shí)除以公因數(shù)2
例2：用短除法求下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)。 同時(shí)除以公因數(shù)2 同時(shí)除以公因數(shù)3 除到三個(gè)商只有公 因數(shù)1為止
①12和18 ②30和75 ③6、12和30 ④28、42和84 想：用短除法求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，一般用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除這幾個(gè)數(shù)（從最小的公因數(shù)開(kāi)始），一直除到任意兩個(gè)商的公因數(shù)只有1為止。再把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)用[ ]表示。
《
最小公倍數(shù)就是外面一圈所有的數(shù)連乘》 解2 2 113 3075 2612302284284
： 8 Ⅴ Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ
3 6 9 5 10 25 336157142142
Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ Ⅵ
2 3 2 5 1 2 5 2236
Ⅵ Ⅵ Ⅵ
[12、18]=2×3×2×3=36 [6、12、30]= 2×3×1×2×5=60 3 133
Ⅵ Ⅵ
1 1 1
[30、75]= 3×5×2×5＝[28、42、84]= 2×7×2×3×1×1×1=84
150
11、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)的分子和分母只有公因數(shù)1，像這樣的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質(zhì)因數(shù)，就能夠化成有限小數(shù)。反之則不可以。
12、約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。
244如： = 305
13、通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。如：
2158 和 可以化成 20 和 5420
14、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化
（1）小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：數(shù)小數(shù)位數(shù)。一位小數(shù)，分母是10；兩位小數(shù)，分母是100??
33如：0.3= 0.03= 10100
30.003= 1000
（2）分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：
方法一：把分?jǐn)?shù)化為分母是10、100、1000??
336如： =0.3 10510
125=0.6 = =0.25 4100
方法二：用分子÷分母
3如： =3÷4=0.75 4
（3）帶分?jǐn)?shù)化為小數(shù)：
先把整數(shù)后的分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，再加
上整數(shù)
3如：2 =2+0.3=2.3 10
12、比分?jǐn)?shù)的大�。� 分母相同，分
子大，分?jǐn)?shù)就大；
分子相同，分母
小，分?jǐn)?shù)才大。
分?jǐn)?shù)比較大小的一般方法： 同分母比較；同分子比較；通分后比較；
化成小
數(shù)比較；仿通分比較
13、分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)包括兩步：一是約分；二是把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。
1131 =0.5 =0.25 =0.75 2445
234=0.2 5=0.4 5 =0.6 5
=0.8
1357 =0.125 =0.375 =0.625 8888
111=0.875 16=0.0625 20 =0.05 25
1=0.04 50 =
14、兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的特殊判斷方法： ① 1和任何大于1的自然數(shù)互質(zhì)。 ② 2和任何奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)。
③ 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
④ 相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)。
⑤ 不相同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。
⑥當(dāng)一個(gè)數(shù)是合數(shù)，另一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)時(shí)（除了合數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)情況下），一般情況下這兩個(gè)數(shù)也都是互質(zhì)數(shù)。
15、求最大公因數(shù)的方法：
① 倍數(shù)關(guān)系： 最大公因數(shù)就是較小數(shù)。
② 互質(zhì)關(guān)系： 最大公因數(shù)就是1 ③ 一般關(guān)系： 從大到小看較小數(shù)的因數(shù)是否是較大數(shù)的因數(shù)。
16、分?jǐn)?shù)知識(shí)圖解：
分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生
分?jǐn)?shù)與意義 ：把單位1平均分成幾份，表示其中的一份或幾份。
分?jǐn)?shù)與除法 ：分子（被
除數(shù)），分母（除數(shù)），分?jǐn)?shù)值（商）。
真分?jǐn)?shù) 真分
數(shù)小于
真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù) 假分?jǐn)?shù) 假分?jǐn)?shù)大于1或等于1
帶分?jǐn)?shù) （整數(shù)部分和真分
數(shù)）
假分?jǐn)?shù)化帶分?jǐn)?shù)、整數(shù)（分子
除以分母，商作整數(shù)部分，余
數(shù)作分子）
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：的倍數(shù)，
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的大小不變。
通分、通分子：化
成分母不同，大小不變的分?jǐn)?shù)（通分）
最大公因數(shù)
約 求最大公因數(shù) (短除法)
最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù) 分子分母互質(zhì)的
分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)、最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)）
約分及其方法
最小公倍數(shù)
通 求最小公倍數(shù) (短除法)
分?jǐn)?shù)比大小 （通分、同分
子、化成小數(shù)、仿通分）
通分及其方法
小數(shù)化分?jǐn)?shù)
小數(shù)化成分母是10、100、1000的分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)
分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化 分?jǐn)?shù)化小數(shù) 分子除以分母，除不盡的取近似值
五、
圖形的運(yùn)動(dòng)(三)
圖形變換的基本方式是平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)。
其中只是改變?cè)瓐D形位置的變換是
平移、旋轉(zhuǎn)
對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) (對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一般用于軸對(duì)稱(chēng)) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)圖形經(jīng)變換后，變換后的的圖形與變換前的圖形位置相同的點(diǎn)
對(duì)應(yīng)點(diǎn)一般用于平移和旋轉(zhuǎn))
一、圖形的平移
1、平移不改變圖形的大小和形狀
2、平移的三要素：原圖形的位置、平移的方向、平移的距離。
平移的方向一般為：水平方向、垂直方向兩種。
平移的距離：一般為幾個(gè)單位長(zhǎng)度（也即幾個(gè)方格）
3、平移是整個(gè)圖形的移動(dòng)，圖形的每個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)都需要按要求移動(dòng)。
4、圖形平移的步驟：
（1）確定原圖形位置、平移的方向、平移的距離。
（2）找出原圖形的各關(guān)鍵點(diǎn)。
（3）根據(jù)題目要求將各個(gè)點(diǎn)依次平移。
（4）順次連接平移后的各點(diǎn)，標(biāo)明各點(diǎn)名稱(chēng)
二、軸對(duì)稱(chēng): 如果一個(gè)圖形沿著一條直
線對(duì)折后兩部分完全重合，
這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖
形， 這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。
（1）學(xué)過(guò)的軸對(duì)稱(chēng)平面圖形：長(zhǎng)（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形??
等腰三角形有1條對(duì)稱(chēng)軸，等邊三角形有3條對(duì)稱(chēng)軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱(chēng)軸，正方形有4條對(duì)稱(chēng)軸，等腰梯形有1條對(duì)稱(chēng)軸，任意梯形和平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。
（2）圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。
（3）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等。
（4）對(duì)稱(chēng)圖形包括軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形。
三、軸對(duì)稱(chēng)圖形的畫(huà)法
1、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)(特征)：
（1）對(duì)稱(chēng)軸兩邊的圖形一定完全相同
（2）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)
（3）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線垂直于對(duì)稱(chēng)軸
（4）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等
2、軸對(duì)稱(chēng)圖形的畫(huà)法：
（1）根據(jù)題意確定已知圖形以及對(duì)稱(chēng)軸位置
（2）找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)
（3）依次過(guò)每個(gè)點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸的虛線（根據(jù)性質(zhì)3）
（4）在對(duì)稱(chēng)軸另一側(cè)確定各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)位置 （根據(jù)性質(zhì)4）
（5）標(biāo)明各點(diǎn)對(duì)應(yīng)名稱(chēng)，順次連接各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得到軸對(duì)稱(chēng)圖形
四、確定軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸
沿某條直線對(duì)折之后，兩邊的圖形能夠
完全重疊，這條直線就是圖形的對(duì)稱(chēng)軸
五、軸對(duì)稱(chēng)和成軸對(duì)稱(chēng)
六、旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化較做旋轉(zhuǎn)，定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，原圖形上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后成為的另一點(diǎn)成為對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
（1）生活中的旋轉(zhuǎn)：電風(fēng)扇、車(chē)輪、紙風(fēng)車(chē)
（2）旋轉(zhuǎn)要明確繞點(diǎn)，角度和方向。
（3）長(zhǎng)方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度與原來(lái)重
合，正方形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度與原
來(lái)重合。等邊三角形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
120度與原來(lái)重合。
七、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：
（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)；
（2）其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
（3）旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變；
（4）兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；
（5）旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動(dòng)的點(diǎn)。
八、圖形旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)
（1）旋轉(zhuǎn)前后圖形形狀和大小都不變。
（2）每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成角的度數(shù)都等于旋轉(zhuǎn)角度。
（3）各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離也相等
九、圖形旋轉(zhuǎn)的三要素
（1）旋轉(zhuǎn)中心：可以在已知圖形上也可以在已知圖形外。
（2）旋轉(zhuǎn)方向：順時(shí)針和逆時(shí)針。
（3）旋轉(zhuǎn)角度：常見(jiàn)的有45°、90°、180°等。
十、旋轉(zhuǎn)圖形的畫(huà)法
（1）確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度
（2）找去原圖形的各關(guān)鍵點(diǎn)
（3）依次將各關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接（用虛線）
（4）將各連線按要求旋轉(zhuǎn)一定角度后，確定各虛線的長(zhǎng)度，標(biāo)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
（5）將每個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接并標(biāo)出名稱(chēng)。
六 分?jǐn)?shù)的加法和減法
（1） 同 （分母不變，分子相加減）
1、分?jǐn)?shù)數(shù)的加法和減法 （2） 異分母分?jǐn)?shù)加、減法 （通分后再加減）
（3） 分
數(shù)加減混合運(yùn)算：同整數(shù)。
（4） 結(jié)
果要是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)
2、帶分?jǐn)?shù)加減法: 帶分?jǐn)?shù)相加減，整
數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分
分別相加減，再把
所得的結(jié)果合并起
來(lái)。
附：具體解釋
（一）同分母分?jǐn)?shù)加、減法
1、同分母分?jǐn)?shù)加、減法：
同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只
把分子相加減。
2、計(jì)算的結(jié)果，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
（二）異分母分?jǐn)?shù)加、減法
1、分母不同，也就是分?jǐn)?shù)單位不同，不能直接相加、減。
2、異分母分?jǐn)?shù)的加減法：
異分母分?jǐn)?shù)相加、減，要先通分，再
按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法進(jìn)行計(jì)
算。
（三）分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算
1、分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。
在一個(gè)算式中，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；如果只含有同一級(jí)運(yùn)算，應(yīng)從左到右依次計(jì)算。
11112、規(guī)律 =1- = 2262
1111111- = - 20 = - 3123445
3、整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對(duì)分?jǐn)?shù)加法同樣適用
常見(jiàn)乘法計(jì)算（敏感數(shù)字） ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交換律簡(jiǎn)算例子 加法結(jié)合律簡(jiǎn)算例子 乘法交換律簡(jiǎn)算例子 乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算例子
2121 0.875+3+8 3+4 +0.8 5160.4× 23× 23
721214=8+3+8 =3 +4 +5 25316=5 × 283
712214=8 +8 +3 =3+(4 +5) 22316=5 ×33 =23 ×() 583
22=1+3 =3 +1 =1×3 =23×2
含加法交換律與結(jié)合律 含乘法交換律與結(jié)合律 數(shù)字換減法式 數(shù)字換加法式
21129 0.875+3 +8+3 7
1675×3×29 35×36 9 10
721132916=8+3 +8+3 =87 3 7529 = (36-1) 36 =
9(100+1) 10
712131629=8+8 + 3+3 =83 7 755×29 =36×36-1×36
99=100+1 1010
71213= (8+8 )+ (3+3 ) = (8
162975×3 )×(7×29) =5-36 9=1+10
=1+1 =2×1 乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添項(xiàng)) 乘法分配律(添項(xiàng))
9101×0.9-10 ×1 95.5÷1.6-15.5÷
951.6 101×0.9-10 52×8
5-0.625 8
99=10110 -10 ×1 =(95.5-15.5)÷1.6 99555=101- - 1010888
99=101×10-1×10 =80÷1.6
9955=101×10 -1×10 =52×8+29×8
5 8
9=(101-1) ×10 =800÷16
95=(101-1) =(52+29-1) 108
9=100× 10
95 108
減法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 減法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 減法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 數(shù)字換乘法式
53718-8 -0.375 14 -16-0.75 27125 -(16+0.4) 0.56×125
53373=18-8-8 =14 -16 -4
272=125 -(16 +5) =0.7×0.8×125
53337=18-(8 +8 ) =14 -4-16 227=125 -5 -16 =0.7×(0.8×125)
7=18-1 =1-16
7=12-16 =0.7×100
除法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 除法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 除法的性質(zhì)簡(jiǎn)算例子 數(shù)字換乘法式
3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333
=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999 同級(jí)運(yùn)算中，第一個(gè)數(shù)不能動(dòng)，后面的數(shù)可以帶著符號(hào)搬家 =11111×
(100000-1)
27213 +16 -3 250÷0.8×0.4 27113 -16 +3 29×0.25÷0.29 227=13-3+16 =250×0.4÷0.8 217=13 +3-16 =29÷0.29×0.25 7=1+16 =100÷0.8 7=2-16 =100×0.25
打電話：規(guī)律——人人不閑著，每人都在傳。（技巧：已知人數(shù)依次 × 2）
（1）逐個(gè)法： 所需時(shí)間最多。
（2）分組法： 相對(duì)節(jié)約時(shí)間。
（3）同時(shí)進(jìn)行法：最節(jié)約時(shí)間。
七 折線統(tǒng)計(jì)圖
統(tǒng)計(jì)圖：我們學(xué)過(guò)——條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖(復(fù)試折線統(tǒng)計(jì)圖)
條形統(tǒng)計(jì)圖優(yōu)點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖能形象
地反映出數(shù)量的多少。
折線統(tǒng)計(jì)圖優(yōu)點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不僅能
表示出數(shù)量的多少，還能反映出數(shù)量的變化情況。
折線統(tǒng)計(jì)圖的制作步驟：
1.整理數(shù)據(jù)。
2.畫(huà)出縱軸和橫軸，用一個(gè)長(zhǎng)度單位表示一定的數(shù)量。
3.根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，標(biāo)出各點(diǎn)的數(shù)據(jù)，把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。
4.寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)圖的名稱(chēng)、數(shù)量單位和制圖日期
注：①畫(huà)圖時(shí)注意：一“點(diǎn)”（描點(diǎn)） 二“標(biāo)”（標(biāo)數(shù)據(jù)） 三“連”（連線）
②要用不同的線段分別連接兩
組數(shù)據(jù)中的數(shù)。
八 數(shù)學(xué)廣角—找次品
用天平找次品規(guī)律：
1、把所有物品盡可能平均地分成3份，
（如余1則放入到最后一份中；如余2則分別放入到前兩份中），保證找出次品而且稱(chēng)的次數(shù)一定最少。
2、數(shù)目與測(cè)試的次數(shù)的關(guān)系：2～3個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是1次
4～9個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是2次
10～27個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是3次
28～81個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是4次
82～243個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是5次
244～729
個(gè)物體，保證能找出次品需要測(cè)的次數(shù)是6次
3、找次品規(guī)律
1 2 3 4 5 ?次數(shù)
3 3×3 3×3×3 3×3
×3×3 3×3×3×3×3 ?
3 9 27 81 243 ? 次品個(gè)數(shù)
解方程方法一：消項(xiàng)(如果消＋3，方程兩邊就同時(shí)－3 ；如果消×3，方程兩邊就同時(shí)÷3)
1：把方程里的“括號(hào)”全部去掉，兩種去括號(hào)的方法任選其一
2：如果兩邊都有 幾 , 要先消去其中一邊的 幾
(如果有“-
幾”，就把“-幾”消去，如果沒(méi)有“-幾”，就把較小的消去掉)
3：消去 “-幾”， 消去“÷”
4
：把這邊的數(shù)字全部消掉，先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×”
(注意：無(wú)論解到哪一步，數(shù)字+幾 都要寫(xiě)成 幾+數(shù)字)
解方程方法二：移項(xiàng)(＋3移到另一邊就變成－3，×3移到另一邊就變成÷3) 1：把方程里的“括號(hào)”全部去掉，兩種去括號(hào)的方法任選其一
2：如果兩邊都有
幾 ,就把其中一邊的 幾 移到另一邊
(如果有“-
幾”，就把“-幾”移到另一邊。如果沒(méi)有“-幾”，就把較小的移到另一邊)
3：把“-
幾”移到另一邊，把
“÷”移到另一邊”
4
：把這邊的數(shù)字全部移到另一邊，先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×” (注意：無(wú)論解到哪一步，數(shù)字+幾 都要寫(xiě)成 幾+數(shù)字)
長(zhǎng)度單位換算 km m dm cm mm
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米
面積單位換算 km? m? dm? cm? mm?
1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
體(容)積單位換算 L mL m? dm? cm?
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升
1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
質(zhì)量單位換算 t kɡ ɡ
1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
時(shí)間單位換算 h min s
1世紀(jì)=100年 1年=12月 大月(31天)
有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 閏年2月29天 平年全年365天, 閏年全年366天
1日=24小時(shí) 1時(shí)=60分 1分=60秒 1時(shí)=3600秒
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