切線的判定定理教案
【內(nèi)容概述】
證明圓的切線是近幾年中考常見的數(shù)學(xué)問題之一。最常用的是利用“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”證明。
本內(nèi)容通過動(dòng)手操作得出切線的判定定理，再利用解決兩道例題，總結(jié)歸納出兩種具體的證法：
①當(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱為“連半徑，證垂直”；
�、诋�(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱為“作垂直，證半徑”。
歸納總結(jié)后，馬上給予兩道對(duì)應(yīng)練習(xí)題鞏固理解兩種證明方法。
【教學(xué)重難點(diǎn)】
理解切線的判定方法，能選擇正確的方法證明一條直線是圓的切線。
【教學(xué)目標(biāo)】
掌握判斷圓的切線的方法，并靈活解題。進(jìn)一步培養(yǎng)使用“分類”與“歸納”等思想方法的能力。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)引入
平面內(nèi)直線和圓存在著三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、直線和圓相切、直線和圓相交，這三種位置關(guān)系中最重要的是直線和圓相切。那么怎樣證明直線和圓相切呢？怎樣判定一條直線是圓的切線？
�、藕蛨A只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；（定義）
⑵到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（d=r）
除了這兩種方法，還有沒有其他方法判定一條直線是圓的切線呢?
活動(dòng)一：在練習(xí)本上畫一個(gè)圓O,做一個(gè)半徑OA,做一條直線L,使L經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于OA。這樣的直線能畫幾條？這條直線和圓是什么位置關(guān)系？為什么？你得到了什么結(jié)論？
切線判定定理：經(jīng)過直徑的`一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。
活動(dòng)二：分析定理。經(jīng)過直徑的一端，且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。
這個(gè)定理有什么用？證明一條直線是圓的切線，那根據(jù)這個(gè)判定定理，要證明一條直線是圓的切線，需要幾個(gè)條件？分別是什么？
對(duì)定理的理解：①經(jīng)過半徑外端. ②垂直于這條半徑。
定理中的兩個(gè)條件缺一不可。
二、典型例題
例1：如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB,CA=CB，
求證：直線AB是⊙O的切線。
證明：連結(jié)0C
∵0A＝0B，CA＝CB，
∴AB⊥OC。
∵直線AB經(jīng)過半徑0C的外端C，
并且垂直于半徑0C，
∴AB是⊙O的切線。
【評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線。
例2：如圖，P是∠BAC上的平分線上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D，請(qǐng)問AB與以P
為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么 ？
證明：過P作PE⊥AB于E
∵AP平分∠BAC,PD⊥AC
∴PE=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等)
∴圓心P到AB的距離PE=PD=半徑
∴AB與圓相切
【設(shè)計(jì)意圖】通過例一和例二的解答，總結(jié)證明切線的兩種添加輔助線的方法。
�、佼�(dāng)直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱為“連半徑，證垂直”；
②當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱為“作垂直，證半徑”。
三、知識(shí)應(yīng)用（練習(xí)）
1、如圖，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上
的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，弦AC平分∠EAB。
求證：DE是⊙O的切線．
［分析］：因直線DE與⊙O有公共點(diǎn)C，故應(yīng)采用“連半徑，證垂直”的方法。
證明：連接OC，則OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO(等邊對(duì)等角)
∵AC平分∠EAB(已知)
∴∠EAC=∠CAO(角平分線的定義)
∴∠EAC=∠ACO（等量代換）
∴AE∥CO，(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)
又AE⊥DE，
∴CO⊥DC，
∴DE是⊙O的切線．
【評(píng)析】本題綜合運(yùn)用了圓的切線的性質(zhì)與判定定理．一定要注意區(qū)分這兩個(gè)定理的題設(shè)與結(jié)論，注意在什么情況下可以用切線的性質(zhì)定理，在什么情況下可以用切線的判定定理．希望同學(xué)們通過本題對(duì)這兩個(gè)定理有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)．本題若作OC⊥CD，就判斷出了CD與⊙O相切，這是錯(cuò)誤的．這樣做相當(dāng)于還未探究、判斷，就以經(jīng)得出了結(jié)論，顯然是錯(cuò)誤的。
2、如圖，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分別是AC、
BC的中點(diǎn)，求證：以EF為直徑的⊙O 與AB 相切。
�。鄯治觯荩阂蛑本�AB與⊙O無(wú)確定的公共點(diǎn)，故應(yīng)采用“作垂直，證半徑”方法。
證明：過O點(diǎn)作OH⊥AB于H
∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)（已知）
∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）
∴G點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，OH=GD=CD
∵CD=AB ∴EF=CD
∴OH=EF
∴AB為⊙O的切線
四、小結(jié)升華
本節(jié)課里，你學(xué)到了哪些知識(shí)，它們是如何應(yīng)用的？
證明切線的方法：(1)直線和圓有交點(diǎn)時(shí)，“連半徑，證垂直”；
(2)直線和圓無(wú)確定交點(diǎn)時(shí)，“作垂直，證半徑”。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)歸納總結(jié)出本知識(shí)點(diǎn)，即判斷直線與
圓相切的方法以及二種添加輔助線的方法。
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