正方形 - 初中數(shù)學(xué)第三冊(cè)教案

課題： §4.6  正方形（一）

教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定，會(huì)用正方形的概念和性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)一步加深對(duì)“特殊與一般的認(rèn)識(shí)”

教學(xué)重點(diǎn)： 正方形的定義．

教學(xué)難點(diǎn) ： 正方形與矩形、菱形間的關(guān)系．

教學(xué)方法：雙邊合作  如：在教學(xué)時(shí)可播放轉(zhuǎn)換動(dòng)畫(huà)使學(xué)生獲得生動(dòng)、形象的可視思維過(guò)程，從而掌握判定一個(gè)四邊形是正方形的方法．為了活躍學(xué)生的思維，可以得出下列問(wèn)題讓學(xué)生思考：

（1）對(duì)角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？

（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？

（3）對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應(yīng)該加上什么條件？

（4）能說(shuō)“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎？為什么？

（5）說(shuō)“四個(gè)角相等的四邊形是正方形”，對(duì)嗎？

教學(xué)過(guò)程 ：

讓學(xué)生將事先準(zhǔn)備好的矩形紙片，按要求對(duì)折一下，裁出正方形紙片．

問(wèn)：所得的圖形是矩形嗎？它與一般的矩形有什么不同？

    所得的圖形是菱形嗎？它與一般的菱形有什么不同？

    所得的圖形在小學(xué)里學(xué)習(xí)時(shí)稱它為什么圖形？它有什么特點(diǎn)？

由此得出正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．

（一）新課

由正方形的定義可以得知：正方形是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．

請(qǐng)同學(xué)們推斷出正方形具有哪些性質(zhì)？

性質(zhì)１、（１）正方形的四個(gè)角都是直角。

（２）正方形的四條邊相等。

性質(zhì)２、（１）正方形的兩條對(duì)角線相等。

（２）正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分。

（３）正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

例1  求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．

已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．

求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO

（正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分）．

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

問(wèn)：如何判定一個(gè)四邊形是正方形呢？

正方形的判定方法：

1.先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形；

2.先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形．

例2             已知：如圖，點(diǎn)A′、B′、C′、D′分

別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA′=BB′=CC′=DD′．

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．

分析：根據(jù)正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角及已知條件，可以得到四個(gè)全等的直角三角形，它們的斜邊都相等，從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形．

證明：（略）

（二）練習(xí)

1.已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm，求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)和正方形的面積．

2.正方形的對(duì)角線和它的邊所成的角是多少度？為什么？

3.如果一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線相等，那么它一定是正方形，為什么？

4.如果一個(gè)矩形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么它一定是正方形，為什么？

三  小結(jié)

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形，它們的包含關(guān)系如圖：

 

 

 

 

 

四  作業(yè) 

1.已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)4cm，求它的邊長(zhǎng)和面積．

2.兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．

3.求證：正方形對(duì)邊中點(diǎn)的連線將正方形分成四個(gè)小正方形．

4.求證：矩形的各內(nèi)角平分線組成的四邊形是正方形．

課題： §4.6  正方形（一）

教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定，會(huì)用正方形的概念和性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)一步加深對(duì)“特殊與一般的認(rèn)識(shí)”

教學(xué)重點(diǎn)： 正方形的定義．

教學(xué)難點(diǎn) ： 正方形與矩形、菱形間的關(guān)系．

教學(xué)方法：雙邊合作  如：在教學(xué)時(shí)可播放轉(zhuǎn)換動(dòng)畫(huà)使學(xué)生獲得生動(dòng)、形象的可視思維過(guò)程，從而掌握判定一個(gè)四邊形是正方形的方法．為了活躍學(xué)生的思維，可以得出下列問(wèn)題讓學(xué)生思考：

（1）對(duì)角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？

（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？

（3）對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應(yīng)該加上什么條件？

（4）能說(shuō)“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎？為什么？

（5）說(shuō)“四個(gè)角相等的四邊形是正方形”，對(duì)嗎？

教學(xué)過(guò)程 ：

讓學(xué)生將事先準(zhǔn)備好的矩形紙片，按要求對(duì)折一下，裁出正方形紙片．

問(wèn)：所得的圖形是矩形嗎？它與一般的矩形有什么不同？

    所得的圖形是菱形嗎？它與一般的菱形有什么不同？

    所得的圖形在小學(xué)里學(xué)習(xí)時(shí)稱它為什么圖形？它有什么特點(diǎn)？

由此得出正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．

（一）新課

由正方形的定義可以得知：正方形是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．

請(qǐng)同學(xué)們推斷出正方形具有哪些性質(zhì)？

性質(zhì)１、（１）正方形的四個(gè)角都是直角。

（２）正方形的四條邊相等。

性質(zhì)２、（１）正方形的兩條對(duì)角線相等。

（２）正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分。

（３）正方形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

例1  求證：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．

已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．

求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO

（正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分）．

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

問(wèn)：如何判定一個(gè)四邊形是正方形呢？

正方形的判定方法：

1.先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形；

2.先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形．

例2             已知：如圖，點(diǎn)A′、B′、C′、D′分

別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA′=BB′=CC′=DD′．

求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．

分析：根據(jù)正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角及已知條件，可以得到四個(gè)全等的直角三角形，它們的斜邊都相等，從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形．

證明：（略）

（二）練習(xí)

1.已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm，求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)和正方形的面積．

2.正方形的對(duì)角線和它的邊所成的角是多少度？為什么？

3.如果一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線相等，那么它一定是正方形，為什么？

4.如果一個(gè)矩形的兩條對(duì)角線互相垂直，那么它一定是正方形，為什么？

三  小結(jié)

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形，它們的包含關(guān)系如圖：

 

 

 

 

 

四  作業(yè) 

1.已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)4cm，求它的邊長(zhǎng)和面積．

2.兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．

3.求證：正方形對(duì)邊中點(diǎn)的連線將正方形分成四個(gè)小正方形．

4.求證：矩形的各內(nèi)角平分線組成的四邊形是正方形．

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