盤點(diǎn)考研線性代數(shù)歷年真題考點(diǎn)分布
考研備考已經(jīng)正式開始，作為三大部分之一，線性代數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較容易拿分的部分，因此針對(duì)考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，以下是小編整理的盤點(diǎn)考研線性代數(shù)歷年真題考點(diǎn)分布，歡迎閱讀。
盤點(diǎn)考研線性代數(shù)歷年真題考點(diǎn)分布
考研沖刺階段，把真題吃透，通過(guò)對(duì)歷年真題題型、機(jī)構(gòu)、安排，可以熟悉各位出題老師的出題意向、重點(diǎn)，融匯貫通對(duì)于后期大幅提高復(fù)習(xí)效果明顯�？佳薪逃W(wǎng)結(jié)合近六年真題，為同學(xué)們總結(jié)了線性代數(shù)各章節(jié)易考點(diǎn)，可以幫助大家在復(fù)習(xí)中查漏補(bǔ)缺。
第一章行列式，這一塊唯一的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，主要有數(shù)值型和抽象型兩類行列式的計(jì)算，06、08、10、12年的真題中均有抽象行列式的計(jì)算問(wèn)題，而且均是以填空題的形式出現(xiàn)的，個(gè)別的還出現(xiàn)在了大題的第一問(wèn)中。
第二章矩陣，重點(diǎn)在矩陣的秩、逆、伴隨、初等變換以及初等矩陣、分塊矩陣。這一章概念和運(yùn)算較多，考點(diǎn)也較多，而且考點(diǎn)以填空和選擇為主，當(dāng)然也會(huì)結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)考大題。06、09、11、12年均考了一個(gè)小題是有關(guān)初等變換與矩陣乘法之間的關(guān)系，10年考了一個(gè)小題關(guān)于矩陣的秩，08年考了一道抽象矩陣求逆的問(wèn)題。
第三章向量，可以分為三個(gè)重點(diǎn)，第一個(gè)是向量組的線性表示，第二個(gè)是向量組的線性相關(guān)性，第三個(gè)是向量組的秩及極大線性無(wú)關(guān)組。這一章無(wú)論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來(lái)每年都有一道考題，不是向量組的線性表示就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問(wèn)題。
第四章線性方程組，有三個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是線性方程組解的判定問(wèn)題，第二個(gè)是解的性質(zhì)問(wèn)題，第三個(gè)是解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。06年以來(lái)只有11年沒(méi)有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問(wèn)題。
第五章矩陣的特征值與特征向量，也是分三個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法。第二個(gè)為矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，第三是實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對(duì)角化的問(wèn)題。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對(duì)角化問(wèn)題可以說(shuō)每年必考，12年、11年、10年09年都考了。
第六章二次型有兩個(gè)重點(diǎn)。第一個(gè)是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，同學(xué)們必須掌握兩種方法，第一個(gè)是配方法，第二個(gè)是正交變換法。第二個(gè)重點(diǎn)是正定二次型的判定。11 年考的一個(gè)小題，用通過(guò)正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，12年、11年、10年均以大題的形式出現(xiàn)，但主要用的是正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
歷年考研數(shù)學(xué)真題解析線性代數(shù)命題特點(diǎn)解析
考研數(shù)學(xué)是研究生招生入學(xué)考試中通過(guò)筆試的形式對(duì)考生數(shù)學(xué)功底的考查，從近幾年的考研數(shù)學(xué)歷年真題分析結(jié)果來(lái)看，可以得出一個(gè)結(jié)論：線性代數(shù)的難度在高數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)之間，且大多數(shù)的同學(xué)認(rèn)為線性代數(shù)試題難度不大，就是計(jì)算量稍微偏大點(diǎn)，線代代數(shù)的考查是對(duì)基本方法的考查，但是往往在做題過(guò)程中需要利用一些性質(zhì)進(jìn)行輔助解決。
線性代數(shù)的學(xué)科特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，這也是它本身的一個(gè)難點(diǎn)。這就需要同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中，注意對(duì)于知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行對(duì)比著學(xué)習(xí)，有助于鞏固知識(shí)點(diǎn)且不易混淆。
總體來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)主要包括六部分的內(nèi)容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計(jì)算。
行列式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)數(shù)或含有字母的式子，如何把這個(gè)數(shù)算出來(lái)，一般情況下很少用行列式的定義進(jìn)行求解，而往往采用行列式的性質(zhì)將其化成上或下三角行列式進(jìn)行計(jì)算，或是采用降階法(按行或按列展開定理)，甚至有時(shí)兩種方法同時(shí)用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算等等。同學(xué)們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用。
通過(guò)考研數(shù)學(xué)歷年真題分類統(tǒng)計(jì)與考點(diǎn)分布，矩陣部分的考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關(guān)系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識(shí)點(diǎn)。涉及秩的應(yīng)用，包含秩與矩陣可逆的關(guān)系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關(guān)系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別與聯(lián)系，系數(shù)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析。
三、向量部分，理解相關(guān)無(wú)關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。
向量組的線性相關(guān)問(wèn)題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。要求考生掌握線性相關(guān)、線性表出、線性無(wú)關(guān)的定義。以及如何判斷向量組線性相關(guān)及線性無(wú)關(guān)的方法。 向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組以及向量組等價(jià)這些重要的知識(shí)點(diǎn)要求同學(xué)們一定一定掌握到位。
這是線性代數(shù)前三個(gè)內(nèi)容的命題特點(diǎn)，而行列式的矩陣是整個(gè)線性代數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)于行列式的計(jì)算及矩陣的運(yùn)算與一些重要的性質(zhì)與結(jié)論請(qǐng)考生朋友們一定要?jiǎng)?wù)必掌握，否則的話，對(duì)于后面四部分的學(xué)習(xí)會(huì)越學(xué)越難，希望同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中一定注意前面內(nèi)容的復(fù)習(xí)，為后面的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)打好基礎(chǔ)。
前面我們已經(jīng)分析過(guò)，考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)這門學(xué)科整體的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性比較強(qiáng)，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認(rèn)為考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)不好學(xué)，根本找不到復(fù)習(xí)的頭緒，做題時(shí)也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要注意知識(shí)間之間的關(guān)聯(lián)性，理解概率的實(shí)質(zhì)。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)聯(lián)，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的區(qū)別，矩陣等價(jià)、相似、合同三者之間的區(qū)別與聯(lián)系、矩陣相似對(duì)角化與實(shí)對(duì)稱矩陣正交變換對(duì)角化二者之間的區(qū)別與聯(lián)系等等。若是同學(xué)們對(duì)于上面的問(wèn)題根本分不清楚，則說(shuō)明大家對(duì)于基本概念、基本方法還沒(méi)有完全理解透徹。不過(guò)，大家也不要太焦急，希望同學(xué)們?cè)诤笃诘膹?fù)習(xí)過(guò)程中對(duì)于基本概念、基本方法要多加理解和體會(huì)，學(xué)習(xí)一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內(nèi)容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點(diǎn)。
線性方程組，會(huì)求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數(shù)這么學(xué)科的核心和樞紐，很多問(wèn)題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問(wèn)題是每年必考的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎(chǔ)解系的概念，以及如何求一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系。清楚明了基礎(chǔ)解系所含線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)和系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系。會(huì)判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對(duì)角化的方法。這一部分是理論性較強(qiáng)的，理解特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，矩陣相似的定義，矩陣對(duì)角化的定義。同學(xué)們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否可以對(duì)角化，若可以的話，需要把相應(yīng)的可逆矩陣P求出來(lái)。還需要注意矩陣及其關(guān)聯(lián)矩陣(轉(zhuǎn)置、逆、伴隨、相似)的特征值與特征向量的關(guān)系。反問(wèn)題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程，掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標(biāo)準(zhǔn)化。掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范型之間的區(qū)別與聯(lián)系。會(huì)判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價(jià)、相似、合同的關(guān)系。
雖然線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中需要對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)理解透徹，做考研數(shù)學(xué)題過(guò)程中多分析總結(jié)。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)歷年考點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)整理
矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷�性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄�(gè)線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過(guò)幾十年考研考試命題，命題老師對(duì)題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對(duì)矩陣秩的理解，對(duì)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對(duì)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解，對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對(duì)含參數(shù)的矩陣的處理以及反問(wèn)題的解決能力等，都需要在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問(wèn)題，及時(shí)總結(jié)結(jié)論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對(duì)角化過(guò)程中起著決定作用，也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對(duì)于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對(duì)應(yīng)的特征向量)，會(huì)處理含參數(shù)的情況。
線性方程組求解
對(duì)線性方程組的求解總是通過(guò)矩陣來(lái)處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn)，對(duì)方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個(gè)不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。
二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷
二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
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