考研數(shù)學(xué)：?jiǎn)芜x與證明題經(jīng)典解題技巧
很多同學(xué)準(zhǔn)備考研買(mǎi)了各種輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)的資料，大量練習(xí)認(rèn)為這樣的話(huà)一是能通過(guò)題復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，還有就是期望通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)能做到考試真題。這種盲目的做題方法未必能高效提升成績(jī)。同學(xué)們一定要明確，做題不是目的，是為了更好的培養(yǎng)答題的感覺(jué)，理清思路，鞏固知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于考研數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，題海無(wú)邊但題型有限。我們可以通過(guò)對(duì)典型題型的練習(xí)，掌握相應(yīng)的解題方法，能迅速提高解題能力，節(jié)省考場(chǎng)上的寶貴時(shí)間。在此，我們數(shù)學(xué)教研室李老師為大家整理單選題和證明題經(jīng)典解題技巧。
一、單選題巧解技巧總結(jié)為五種方法：
第一種：推演法。提示條件中給出一些條件或者一些數(shù)值，你很容易判斷，那這樣的題就用推演法去做。推演法實(shí)際上是一些計(jì)算題，簡(jiǎn)單一點(diǎn)的計(jì)算題。那么從提示條件中往后推，推出哪個(gè)結(jié)果選擇哪個(gè)。
第二種：賦值法。給一個(gè)數(shù)值馬上可以判斷我們這種做法對(duì)不對(duì)，這個(gè)值可以加在給出的條件上，也可以加在被選的4個(gè)答案中的其中幾個(gè)上，我們加上去如果得出和我們題設(shè)的條件矛盾，或者是和我們已知的事實(shí)相矛盾。比方說(shuō)2小于1就是明顯的錯(cuò)誤，所以把這些排除了，排除掉3個(gè)最后一個(gè)肯定是正確的。
第三種：舉反例排除法。這是針對(duì)提示中給出的函數(shù)是抽象的函數(shù)，抽象的對(duì)立面是具體，所以我們用具體的例子來(lái)核定，這個(gè)跟我們剛才的賦值法有某種相似之處。一般來(lái)講舉的范例是越簡(jiǎn)單越好，而且很多考題你只要簡(jiǎn)單的看就可以看出他的錯(cuò)誤點(diǎn)。
第五種：類(lèi)推。從最后被選的答案中往前推，推出哪個(gè)錯(cuò)誤就把哪個(gè)否定掉，再換一個(gè)。我們推出3個(gè)錯(cuò)誤最后一個(gè)肯定是正確的。后面三種方法有些相似之處，類(lèi)推法這種方法是費(fèi)時(shí)費(fèi)力的，一般來(lái)講我們不太用。
總結(jié)：經(jīng)常進(jìn)行自我總結(jié)，錯(cuò)題總結(jié)能逐漸提高解題能力。大家可以在學(xué)完每一章后，自己通過(guò)畫(huà)圖的形式回憶這章有哪些知識(shí)點(diǎn)，有哪些定理，他們之間有些什么聯(lián)系，如何應(yīng)用等;對(duì)做錯(cuò)的題分析一下原因：概念不清楚、定理用錯(cuò)了還是計(jì)算粗心?數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有對(duì)此進(jìn)行歸納、領(lǐng)會(huì)、應(yīng)用，才能把數(shù)學(xué)知識(shí)與技能轉(zhuǎn)化為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，使解題能力“更上一層樓”。
二、證明題總結(jié)為三大解題方法：
1.結(jié)合幾何意義記住零點(diǎn)存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則等基本原理，包括條件及結(jié)論。
知道基本原理是證明的基礎(chǔ)，知道的程度(即就是對(duì)定理理解的深入程度)不同會(huì)導(dǎo)致不同的推理能力。如2006年數(shù)學(xué)一真題第16題(1)是證明極限的 存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒(méi)有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因?yàn)閿?shù)學(xué)推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結(jié)論，那么第二步就是空中樓閣。這個(gè)題目非常簡(jiǎn)單，只用了極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則之一：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個(gè)準(zhǔn)則，該問(wèn)題就能輕松解決，因?yàn)閷?duì)于該題中的數(shù)列來(lái)說(shuō)，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗(yàn)證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。
2.借助幾何意義尋求證明思路。
一個(gè)證明題，大多時(shí)候是能用其幾何意義來(lái)正確解釋的，當(dāng)然最為基礎(chǔ)的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學(xué)一第19題是一個(gè)關(guān)于中值定理的證明題，可以在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結(jié)論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)函數(shù)除兩個(gè)端點(diǎn)外還有一個(gè)函數(shù)值相等的點(diǎn)，那就是兩個(gè)函數(shù)分別取最大值的點(diǎn)(正確審題：兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不一定是同一個(gè)點(diǎn))之間的一個(gè)點(diǎn)。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，兩次應(yīng)用羅爾中值定理就能得到所證結(jié)論。再如2005年數(shù)學(xué)一第18題(1)是關(guān)于零點(diǎn)存在定理的證明題，只要在直角坐標(biāo)系中結(jié)合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及 y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個(gè)函數(shù)圖形有交點(diǎn)，這就是所證結(jié)論，重要的是寫(xiě)出推理過(guò)程。從圖形也應(yīng)該看到兩函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處大小關(guān)系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)的值是異號(hào)的，零點(diǎn)存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，這就證得所需結(jié)果。如果第二步實(shí)在無(wú)法完滿(mǎn)解決問(wèn)題的話(huà)，轉(zhuǎn)第三步。
3.逆推法
從結(jié)論出發(fā)尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應(yīng)用不等式證明的一般步驟就能解決問(wèn)題：即從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性之間的關(guān)系，正常情況只需一階導(dǎo)的符號(hào)就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所 舉出的例子就屬非正常情況)，這時(shí)需先用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再用一階導(dǎo)的符號(hào)判定原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結(jié)果。該題中可設(shè) F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要證的不等式。
對(duì)于那些經(jīng)常使用如上方法的考生來(lái)說(shuō)，利用三步走就能輕松收獲數(shù)學(xué)證明的12分，但對(duì)于從心理上就不自信能解決證明題的考生來(lái)說(shuō)，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學(xué)請(qǐng)按“證明三步走”來(lái)建立自信心，以阻止考試分?jǐn)?shù)的白白流失。
最后，李老師提醒大家：強(qiáng)化階段大家應(yīng)把復(fù)習(xí)過(guò)的知識(shí)系統(tǒng)化綜合化，注意搞細(xì)搞透搞活，也可適當(dāng)做幾套模擬題。數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，考生們要在考試中取得好成績(jī)，一定要腳踏實(shí)地地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。
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