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立體幾何證明題
立體幾何證明題如圖，原題意就是一個(gè)正方體，然后E、F分別是A'B、B'C的中點(diǎn)，求證EF//面ABCD。
那些虛線是我做的輔助線，EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，連接MN;然后EG⊥BB'，連接FG，EF。然后證那個(gè)五面體EGF-MBN是個(gè)三棱柱，從而證得EF//面ABCD，可不可以?
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證明:(1)連接BG并延長(zhǎng)交PA于點(diǎn)H..
因?yàn)镻A,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因?yàn)镚為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因?yàn)镻F=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因?yàn)镻B在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點(diǎn)K,,使得CK=1/3BC...
因?yàn)锽F=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因?yàn)镋為BK中點(diǎn),,BF=FK..所以FE⊥BC...
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1.設(shè)P點(diǎn)的射影是H因?yàn)镻B=PC=PD，所以H必是BC,DC的中垂線的交點(diǎn)，因?yàn)锽H^2+PH^2=CH^2+PH^2=DH^2+PH^2又因?yàn)锳是BC,DC的中垂線的交點(diǎn)，所以A與P重合，PA垂直于平面ABCD.2.取AB中點(diǎn)F，過(guò)F做FM垂直AB于M，則∠EMF為所求角因?yàn)镋F=1/2AP=1,FM=1/2BN=√3/2(N為AC中點(diǎn))則可求得
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取CD和BC的中點(diǎn)M,N,連接PM,PN,AM,AN,因?yàn)槿切蜛BC和三角形PBC都為等腰三角形，所以PN垂直于BC,AN還垂直于BC,所以BC垂直于面PAN,所以BC垂直于PA,同理證PA垂直于CD,即可。第二問(wèn)，建空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)面的法向量，再用向量夾角公式就可求出，結(jié)果為arccos(根號(hào)下21)/7.
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PA⊥AB PA⊥AC，∴PA⊥面ABC
∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AE
又因?yàn)?AE⊥PB
∴AE⊥面PBC，∴AE⊥PC
又∵ AF⊥PC
∴ PC⊥平面AEF
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證明:(1)連接BG并延長(zhǎng)交PA于點(diǎn)H..
因?yàn)镻A,PB,PC兩輛垂直,,所以PC⊥面PAB..所以PC⊥GF...
因?yàn)镚為△PAB的重心,,所以HG=1/3BH,,又因?yàn)镻F=1/3PB..所以GF平行PH,,所以∠GFB=∠APB=90°....
即GF⊥PB...因?yàn)镻B在面PBC上,,PC也在面PBC上..又PB∩PC=P...
所以GF⊥面PBC...
(2)在BC上取異于E的一點(diǎn)K,,使得CK=1/3BC...
因?yàn)锽F=2/3PB,,BK=2/3BC,,所以所以△BFK∽△BPC...所以FK=2/3PC=2/3PB..即FK=BF..
因?yàn)镋為BK中點(diǎn),,BF=FK..所以FE⊥BC...
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