函數(shù)的單調(diào)性（教案）二

（三）例題講解 例1  圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？ （用投影幻燈給出圖象．） 生甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)，因此[-5，-2]，[1，3]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；在區(qū)間[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，因此[-2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間． 生乙：我有一個(gè)問題，[-5，-2]是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，那么，是否可認(rèn)為（-5，-2）也是f（x）的單調(diào)減區(qū)間呢？ 師：問得好．這說明你想的很仔細(xì)，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn)．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調(diào)（增或減），則f（x）在（a，b）上單調(diào)（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，b]上單調(diào)（增或減），且[ ， ] [a，b]，則f（x）在[ ， ]（增或減）．反之不然． 例2  證明函數(shù)f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)． 師：從函數(shù)圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性是最直觀的，但如果每次都要畫出函數(shù)圖像就太麻煩了，而且有些函數(shù)不容易畫出它的圖像，一次我們必須學(xué)會(huì)根據(jù)解析式和定義來證明。 師：怎樣用定義證明呢？請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程． （教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演．學(xué)生可能會(huì)對如何比較 和 的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā)．） 師：對于 和 我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號(hào)來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系． 生：（板演）設(shè) ， 是（-∞，+∞）上任意兩個(gè)自變量，當(dāng) 時(shí)， ， 所以f（x）是增函數(shù)． 師：他的證明思路是清楚的．一開始設(shè) ， 是（-∞，+∞）內(nèi)任意兩個(gè)自變量，并設(shè) （邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標(biāo)注“①→設(shè)”），然后看 ，這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標(biāo)注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么 ＜0，沒有用到開始的假設(shè)“ ”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號(hào)．應(yīng)寫明“因?yàn)閤1＜x2，所以 ，從而 ＜0，即 ．”這一步可概括為“定符號(hào)”（在黑板上板演，并注明“③→定符號(hào)”）．最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”（在相應(yīng)位置標(biāo)注“④→下結(jié)論”）． 這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個(gè)步驟，請同學(xué)們記�。�需要指出的是第二步，如果函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可 �。�   調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論．     師：你的結(jié)論是什么呢？   上都是減函數(shù)，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)． 生乙：我有不同的意見，我認(rèn)為這個(gè)函數(shù)不是整個(gè)定義域內(nèi)的減函數(shù)，因?yàn)樗�不符合減函數(shù)的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞）， 顯然成立，而 ， ，顯然有 ，而不是 ，因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù)．   生：也不能這樣認(rèn)為，因?yàn)橛蓤D象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)．   域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)．因此在函數(shù)的幾個(gè)單調(diào)增（減）區(qū)間之間不要用符號(hào)“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時(shí)不要寫成閉區(qū)間．     上是減函數(shù)． （教師巡視．對學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給予點(diǎn)拔．可依據(jù)學(xué)生的問題，給出下面的提示： （1）分式問題化簡方法一般是通分． （2）要說明三個(gè)代數(shù)式的符號(hào)：k， ， ． （3）如果用作商的方法，要注意說清 與1的關(guān)系，還要注意在不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，不等號(hào)方向要改變。  （四）課堂練習(xí)   課本38頁練習(xí)1、2、3. （五）課堂小結(jié) 師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)該特別注意的？ （請一個(gè)思路清晰，善于表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中給予提示．） 生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語；在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)不要輕易用并集的符號(hào)連接；最后在用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)該注意證明的四個(gè)步驟．   （六）布置作業(yè) 課本P45練習(xí)第1，2，3，4題．  

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