精品教案及配套反思--反證法

4.4反證法 陳建華 【知識(shí)目標(biāo)】 1、了解反證法的含義. 2、了解反證法的基本步驟. 3、會(huì)利用反證法證明簡(jiǎn)單命題． 4、了解定理“在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交”“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”. 【能力目標(biāo)】1、通過反證法的教學(xué)讓學(xué)生體驗(yàn)、感受正難則反的思維策略  2、反證法需要學(xué)生有一定的分析能力和邏輯思維能力，通過反證法教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和邏輯思維能力 【情感目標(biāo)】通過路邊苦李等實(shí)際問題讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在身邊，學(xué)數(shù)學(xué)能解決生活中的問題 【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】 重點(diǎn)：反證法的含義和步驟. 難點(diǎn)：（1）課本“合作學(xué)習(xí)”要求用兩種方法完成平行線的傳遞性的證明，有較高難度；   （2）如何尋找至多，至少等問題的反面是本節(jié)課第二個(gè)難點(diǎn) 【教學(xué)過程】 一、情境導(dǎo)入    故事引入“反證法”：中國(guó)古代有一個(gè)叫《路邊苦李》的故事:王戎7歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動(dòng).有人問王戎為什么?王戎回答說(shuō):“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下,果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的?他運(yùn)用了怎樣的推理方法? 提出假設(shè):李子不苦，即李子是甜的 推理論證:長(zhǎng)在大路邊的李子會(huì)被過路人摘去解渴,樹上的李子不可能這么多 得出矛盾：這與事實(shí)矛盾 結(jié)論成立：假設(shè)是錯(cuò)誤的，李子是苦的 像這樣的證法就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的《反證法》（板書課題）   反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．人們?cè)谔角竽骋粏栴}的解決方法而正面求解又比較困難時(shí)，常常采用從反面考慮的策略，往往能達(dá)到柳暗花明又一村的境界． 那么什么叫反證法呢？ 二、探究新知 （一）引例感知 已知：如圖，直線a,b被直線c所截，∠1 ≠ ∠2 求證：a∥b 提出假設(shè): 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則a∥b 推理論證: ∴∠1=∠2 (兩直線平行,同位角相等) 得出矛盾：  這與已知的∠1≠∠2矛盾 結(jié)論成立：  ∴假設(shè)不成立，∴a∥b （二）歸納定義 在證明一個(gè)命題時(shí),人們有時(shí)先假設(shè)命題不成立,從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾,從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的,即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法. 用反證法證明命題實(shí)際上是這樣一個(gè)思維過程：我們假定“結(jié)論不成立”，結(jié)論一不成立就會(huì)出毛病，這個(gè)毛病是通過與已知條件矛盾，與公理或定理矛盾的方法暴露出來(lái)的．這個(gè)毛病是怎么造成的呢？推理沒有錯(cuò)誤，已知條件，公理或定理沒有錯(cuò)誤，這樣一來(lái)，唯一有錯(cuò)誤的地方就是一開始的假定．既然“結(jié)論不成立”有錯(cuò)誤，就肯定結(jié)論必然成立了． 你能說(shuō)出下列結(jié)論的反面嗎? 1.a⊥b。  2. d是正數(shù)  3. a≥0 4. a∥b  5. l3與l2相交. （三）步驟歸納 1、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交. 已知: 直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點(diǎn)P. 求證: l3與l2相交. 證明: 假設(shè)____________,即_________. ∵_(dá)________（已知）, ∴過直線l2外一點(diǎn)P有兩條直線和l2平行, 這與“_______________________ _____________”矛盾. ∴假設(shè)不成立,即求證的命題正確. ∴l(xiāng)3與l2相交. 教師簡(jiǎn)單引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：證明兩直線相交的又一判定方法. 2、根據(jù)上述填空，請(qǐng)同學(xué)們歸納一下用反證法證題的步驟．（教師板書步驟） 生：①提出假設(shè): 假定結(jié)論不成立（即結(jié)論的反面成立）；推理論證: ②從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，經(jīng)過推理論證，③得出矛盾：推出與已知條件或定義、定理、公理相矛盾； ④結(jié)論成立：由矛盾判定假設(shè)不正確，肯定命題的結(jié)論成立．明確用反證法證題的基本思路及步驟． （四）學(xué)以致用，完善新知 1、課內(nèi)練習(xí)1 明確在運(yùn)用反證法的過程，往往要仔細(xì)分析結(jié)論的反面，特別要注意語(yǔ)句的轉(zhuǎn)換及表達(dá)． 2、合作學(xué)習(xí) 求證:在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行. （1）你首選的是哪一種方法？ （2）如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？ （3）能不用反證法嗎？你準(zhǔn)備怎樣證明？ 要求按問題解決的四個(gè)步驟進(jìn)行:理解題意(畫出圖形,寫出已知求證);制定計(jì)劃(選擇證明方法,找出證明思路);執(zhí)行計(jì)劃(寫出證明過程);回顧(比較兩種證明方法的特點(diǎn)) 教師在例后要引導(dǎo)學(xué)生比較體會(huì)反證法的優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)正面證明比較繁雜或較難證明時(shí)，用反證法證明是一種證明的思路， 本題的結(jié)論平行傳遞性是判定兩直線平行的又一判定定理.（幾何語(yǔ)言表示） 三、實(shí)踐應(yīng)用，知識(shí)遷移 1、用反證法證明:在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于60°. 已知:  ∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角. 求證:  ∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°. 證明:  假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即 ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60° 則∠A+∠B+∠C < 180°. 這與________________________________相矛盾. 所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立. 2、如圖，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是銳角 證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則∠B是_____或______. 當(dāng)∠B是_____時(shí)，則_____________，這與____________________________矛盾 當(dāng)∠B是_____時(shí)，則______________，這與____________________________矛盾 所以假設(shè)不成立∴∠B一定是銳角. 3證明命題:三角形中至多有一個(gè)角是鈍角. 分析：“至多一個(gè)角是鈍角”是指一個(gè)鈍角或沒有一個(gè)鈍角，它的反面是兩個(gè)鈍角或三個(gè)鈍角，故指“至少兩個(gè)角是鈍角” 注意：用反證法證題時(shí), （1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏； （2）推理過程中要充分使用已知條件，推理過程必須完整，否則推不出矛盾 四、總結(jié)回顧 1、小結(jié)： （1）反證法的概念; （2）反證法的一般步驟 （3）兩個(gè)定理 2、反證法的應(yīng)用：在直接法無(wú)法證明或很難證明的情況選用反證法． 五、課后作業(yè) 1.配套作業(yè)本A(1)組必做。 2.書本作業(yè)題． 3.課外活動(dòng)：收集反證法在生活中應(yīng)用的例子，在班上交流。 【板書設(shè)計(jì)】 屏幕 4.4反證法 1、反證法的定義 2、步驟： 合作學(xué)習(xí) ①提出假設(shè) ②推理論證 ③得出矛盾   學(xué)生練習(xí) ④結(jié)論成立  3、定理 配套反思 如何尋找至多，至少等問題的反面，如何在證明過程中進(jìn)行歸謬都是學(xué)生感到困難的地方，這取決于學(xué)生的分析能力、邏輯思維能力和對(duì)已學(xué)定理的熟悉程度，對(duì)學(xué)生的能力是個(gè)挑戰(zhàn)。 解決策略： 1、尋找問題反面時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析“至多一個(gè)角是鈍角”是指一個(gè)鈍角或沒有一個(gè)鈍角，它的反面是兩個(gè)鈍角或三個(gè)鈍角，故指“至少兩個(gè)角是鈍角” 至少有一個(gè)角大于或等于60的反面是一個(gè)角都沒有大于或等于60。 2、在具體的示范中教會(huì)學(xué)生如何去歸謬 3、對(duì)于學(xué)生易出現(xiàn)的紕漏教師要給予點(diǎn)撥和引導(dǎo)。如用反證法證題時(shí)（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏； （2）推理過程中要充分使用已知條件，推理過程必須完整，否則推不出矛盾 配套練習(xí)： 1、用反證法證明:在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于60°. 已知:  ∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角. 求證:  ∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角大于或等于60°. 證明:  假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即            ∠A ___ 60° ，∠B ___ 60° ，∠C ___60°            則∠A+∠B+∠C < 180°. 這與________________________________相矛盾. 所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立. 2、如圖，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是銳角 證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則∠B是_____或______. 當(dāng)∠B是_____時(shí)，則_____________，這與____________________________矛盾 當(dāng)∠B是_____時(shí)，則______________，這與____________________________矛盾 所以假設(shè)不成立∴∠B一定是銳角. 3證明命題:三角形中至多有一個(gè)角是鈍角. 分析：“至多一個(gè)角是鈍角”是指一個(gè)鈍角或沒有一個(gè)鈍角，它的反面是兩個(gè)鈍角或三個(gè)鈍角，故指“至少兩個(gè)角是鈍角” 證明略

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