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高中數(shù)學(xué)教案

時(shí)間:2023-05-06 15:11:15 高中數(shù)學(xué)教案 我要投稿

高中數(shù)學(xué)教案

  作為一位杰出的老師,常常要寫一份優(yōu)秀的教案,教案是教材及大綱與課堂教學(xué)的紐帶和橋梁。怎樣寫教案才更能起到其作用呢?以下是小編精心整理的高中數(shù)學(xué)教案,僅供參考,希望能夠幫助到大家。

高中數(shù)學(xué)教案

高中數(shù)學(xué)教案1

  教學(xué)準(zhǔn)備

  教學(xué)目標(biāo)

  熟悉兩角和與差的正、余公式的.推導(dǎo)過(guò)程,提高邏輯推理能力。

  掌握兩角和與差的正、余弦公式,能用公式解決相關(guān)問(wèn)題。

  教學(xué)重難點(diǎn)

  熟練兩角和與差的正、余弦公式的正用、逆用和變用技巧。

  教學(xué)過(guò)程

  復(fù)習(xí)

  兩角差的余弦公式

  用- B代替B看看有什么結(jié)果?

高中數(shù)學(xué)教案2

  教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解線性規(guī)劃的概念;會(huì)解簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題;

  2.在運(yùn)用建模和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中;提高解決問(wèn)題的能力;

  3.進(jìn)一步提高學(xué)生的合作意識(shí)和探究意識(shí)。

  教學(xué)重點(diǎn):線性規(guī)劃的概念及其解法

  教學(xué)難點(diǎn)

  代數(shù)問(wèn)題幾何化的過(guò)程

  教學(xué)方法:啟發(fā)探究式

  教學(xué)手段運(yùn)用多媒體技術(shù)

  教學(xué)過(guò)程:1.實(shí)際問(wèn)題引入。

  問(wèn)題一:小王和小李合租了一輛小轎車外出旅游.小王駕車平均速度為每小時(shí)70公里,平均耗油量為每小時(shí)6公升;小李駕車平均速度為每小時(shí)50公里,平均耗油量為每小時(shí)4公升.現(xiàn)知道油箱內(nèi)油量為60公升,兩人駕車時(shí)間累計(jì)不能超過(guò)12小時(shí).問(wèn)小王和小李分別駕車多少時(shí)間時(shí),行駛路程最遠(yuǎn)?

  2.探究和討論下列問(wèn)題。

  (1)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?

  (2)滿足不等式組①的條件的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域如何表示?

  (3)關(guān)于x、y的一個(gè)表達(dá)式z=70x+50y的幾何意義是什么?

  (4)z的幾何意義是什么?

  (5)z的最大值如何確定?

  讓學(xué)生達(dá)成以下共識(shí):小王駕車時(shí)間x和小李駕車時(shí)間y受到時(shí)間(12小時(shí))和油量(60公升)的限制,即

  x+y≤12

  6x+4y≤60 ①

  x≥0

  y≥0

  行駛路程可以表示成關(guān)于x、y的一個(gè)表達(dá)式:z=70x+50y 由數(shù)形結(jié)合可知:經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6,6)的直線所對(duì)應(yīng)的z最大.

  則zmax=6×70+6×50=720

  結(jié)論:小王和小李分別駕車6小時(shí)時(shí),行駛路程最遠(yuǎn)為720公里.

  解題反思:

  問(wèn)題解決過(guò)程中體現(xiàn)了那些重要的數(shù)學(xué)思想?

  3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念。

  什么是“線性規(guī)劃問(wèn)題”?涉及約束條件、線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念.

  4.進(jìn)一步探究線性規(guī)劃問(wèn)題的解。

  問(wèn)題二:若小王和小李駕車平均速度為每小時(shí)60公里和40公里,其它條件不變,問(wèn)小王和小李分別駕車多少時(shí)間時(shí),行駛路程最遠(yuǎn)?

  要求:請(qǐng)你寫出約束條件、目標(biāo)函數(shù),作出可行域,求出最優(yōu)解。

  問(wèn)題三:如果把不等式組①中的兩個(gè)“≤”改為“≥”,是否存在最優(yōu)解?

  5.小結(jié)。

  (1)數(shù)學(xué)知識(shí);(2)數(shù)學(xué)思想。

  6.作業(yè)。

  (1)閱讀教材:P.60-63;

  (2)課后練習(xí):教材P.65-2,3;

  (3)在自己生活中尋找一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,寫出約束條件,確定目標(biāo)函數(shù),作出可行域,并求出最優(yōu)解。

  《一個(gè)數(shù)列的研究》教學(xué)設(shè)計(jì)

  教學(xué)目標(biāo):

  1.進(jìn)一步理解和掌握數(shù)列的有關(guān)概念和性質(zhì);

  2.在對(duì)一個(gè)數(shù)列的探究過(guò)程中,提高提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;

  3.進(jìn)一步提高問(wèn)題探究意識(shí)、知識(shí)應(yīng)用意識(shí)和同伴合作意識(shí)。

  教學(xué)重點(diǎn):

  問(wèn)題的提出與解決

  教學(xué)難點(diǎn):

  如何進(jìn)行問(wèn)題的探究

  教學(xué)方法:

  啟發(fā)探究式

  教學(xué)過(guò)程:

  問(wèn)題:已知{an}是首項(xiàng)為1,公比為 的無(wú)窮等比數(shù)列。對(duì)于數(shù)列{an},提出你的問(wèn)題,并進(jìn)行研究,你能得到一些什么樣的結(jié)論?

  研究方向提示:

  1.?dāng)?shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列,可以從等比數(shù)列角度來(lái)進(jìn)行研究;

  2.研究所給數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系;

  3.研究所給數(shù)列的子數(shù)列;

  4.研究所給數(shù)列能構(gòu)造的新數(shù)列;

  5.?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù),可以從函數(shù)性質(zhì)角度來(lái)進(jìn)行研究;

  6.研究所給數(shù)列與其它知識(shí)的聯(lián)系(組合數(shù)、復(fù)數(shù)、圖形、實(shí)際意義等)。

  針對(duì)學(xué)生的研究情況,對(duì)所提問(wèn)題進(jìn)行歸類,選擇部分類型問(wèn)題共同進(jìn)行研究、分析與解決。

  課堂小結(jié):

  1.研究一個(gè)數(shù)列可以從哪些方面提出問(wèn)題并進(jìn)行研究?

  2.你最喜歡哪位同學(xué)的研究?為什么?

  課后思考題: 1.將{an}推廣為一般的無(wú)窮等比數(shù)列:1,q,q2,…,qn-1,… ,上述一些研究結(jié)論會(huì)有什么變化?

  2.若將{an}改為等差數(shù)列:1,1+d,2+d,…,1+(n-1)d,… ,是否可以進(jìn)行類比研究?

  開(kāi)展研究性學(xué)習(xí),培養(yǎng)問(wèn)題解決能力

  一、對(duì)“研究性學(xué)習(xí)”和“問(wèn)題解決”的認(rèn)識(shí) 研究性學(xué)習(xí)是一種與接受性學(xué)習(xí)相對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)方式,泛指學(xué)生主動(dòng)探究問(wèn)題的學(xué)習(xí)。研究性學(xué)習(xí)也可以說(shuō)是一種學(xué)習(xí)活動(dòng):學(xué)生在教師指導(dǎo)下,在自己的學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活中選擇課題,以類似科學(xué)研究的方式去主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題。

  “問(wèn)題解決”(problem solving)是美國(guó)數(shù)學(xué)教育界在二十世紀(jì)八十年代的主要口號(hào),即認(rèn)為應(yīng)當(dāng)以“問(wèn)題解決”作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的中心。

  問(wèn)題解決能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力,其核心是“創(chuàng)新精神”與“實(shí)踐能力”。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)是培養(yǎng)問(wèn)題解決能力的主要途徑。

  二、“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的建構(gòu)與實(shí)踐 以研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)為載體,以培養(yǎng)問(wèn)題解決能力為核心的課堂教學(xué)模式(以下簡(jiǎn)稱為“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式)試圖通過(guò)問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè),激發(fā)學(xué)生的.求知欲,以獨(dú)立思考和交流討論的形式,發(fā)現(xiàn)、分析并解決問(wèn)題,培養(yǎng)處理信息、獲取新知、應(yīng)用知識(shí)的能力,提高合作意識(shí)、探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

 。ㄒ唬╆P(guān)于“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式

  通過(guò)實(shí)施“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式,希望能夠達(dá)到以下的功能目標(biāo):學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的方法,開(kāi)掘創(chuàng)造性思維潛力,培養(yǎng)主動(dòng)參與、團(tuán)結(jié)協(xié)作精神,增進(jìn)師生、同伴之間的情感交流,形成自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和意識(shí)。

  (二)數(shù)學(xué)學(xué)科中的問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)目標(biāo)

  數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力培養(yǎng)的目標(biāo)可以有不同層次的要求:會(huì)審題,會(huì)建模,會(huì)轉(zhuǎn)化,會(huì)歸類,會(huì)反思,會(huì)編題。

 。ㄈ皢(wèn)題解決”課堂教學(xué)模式的教學(xué)流程

  (四)“問(wèn)題解決”課堂教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

  1. 教學(xué)目標(biāo)的確定;

  2. 教學(xué)方法的選擇;

  3. 問(wèn)題的選擇;

  4. 師生主體意識(shí)的體現(xiàn);

  5.教學(xué)策略的運(yùn)用。

  (五)了解學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的途徑

 。╅_(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)教師的能力要求

高中數(shù)學(xué)教案3

  [學(xué)習(xí)目標(biāo)]

 。1)會(huì)用坐標(biāo)法及距離公式證明Cα+β;

 。2)會(huì)用替代法、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式,由Cα+β推導(dǎo)Cα—β、Sα±β、Tα±β,切實(shí)理解上述公式間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化;

 。3)掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β,并利用簡(jiǎn)單的三角變換,解決求值、化簡(jiǎn)三角式、證明三角恒等式等問(wèn)題。

  [學(xué)習(xí)重點(diǎn)]

  兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

  [學(xué)習(xí)難點(diǎn)]

  余弦和角公式的推導(dǎo)

  [知識(shí)結(jié)構(gòu)]

  1、兩角和的余弦公式是三角函數(shù)一章和、差、倍公式系列的基礎(chǔ)。其公式的證明是用坐標(biāo)法,利用三角函數(shù)定義及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式,把兩角和α+β的余弦,化為單角α、β的`三角函數(shù)(證明過(guò)程見(jiàn)課本)

  2、通過(guò)下面各組數(shù)的值的比較:①cos(30°—90°)與cos30°—cos90°②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°。我們應(yīng)該得出如下結(jié)論:一般情況下,cos(α±β)≠cosα±cosβ,sin(α±β)≠sinα±sinβ。但不排除一些特例,如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα。

  3、當(dāng)α、β中有一個(gè)是的整數(shù)倍時(shí),應(yīng)首選誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形。注意兩角和與差的三角函數(shù)是誘導(dǎo)公式等的基礎(chǔ),而誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)的特例。

  4、關(guān)于公式的正用、逆用及變用

高中數(shù)學(xué)教案4

  高中數(shù)學(xué)趣味競(jìng)賽題(共10題)

  1 、撒謊的有幾人

  5個(gè)高中生有,她們面對(duì)學(xué)校的新聞采訪說(shuō)了如下的話:

  愛(ài):“我還沒(méi)有談過(guò)戀愛(ài)! 靜香:“愛(ài)撒謊了!

  瑪麗:“我曾經(jīng)去過(guò)昆明! 惠美:“瑪麗在撒謊。”

  千葉子:“瑪麗和惠美都在撒謊! 那么,這5個(gè)人之中到底有幾個(gè)人在撒謊呢?

  2、她們到底是誰(shuí)

  有天使、惡魔、人三者,天使時(shí)刻都說(shuō)真話,惡魔時(shí)時(shí)刻刻都說(shuō)假話,人呢,有時(shí)候說(shuō)真話,有時(shí)候說(shuō)假話。

  穿黑色衣服的女子說(shuō):“我不是天使! 穿藍(lán)色衣服的女子說(shuō):“我不是人。” 穿白色衣服的女子說(shuō):“我不是惡魔。”那么,這三人到底分別是誰(shuí)呢?

  3、半只小貓

  聽(tīng)說(shuō)祖父家的波斯貓生了好多小貓,喜歡貓的我興高采烈地來(lái)到祖父家?墒,只剩下1只小貓了。

  “一共生了幾只小貓呀?” “猜猜看,要是猜中了,就把剩下的.這只小貓給你。附近的寵物店聽(tīng)說(shuō)以后,馬上來(lái)買走了所有小貓的一半和半只! “半只?”“是啊,然后,鄰居家的老奶奶無(wú)論如何都要,所以就把剩下的一半和另外半只給了她。這就是只剩下1只小貓的原因。那么你想想看,一共生了幾只小貓呢?

  4、被蟲(chóng)子吃掉的算式

  一只愛(ài)吃墨水的蟲(chóng)子把下圖的算式中的數(shù)字全部吃掉了。當(dāng)然,沒(méi)有數(shù)字的部分它沒(méi)有吃(因?yàn)闆](méi)有墨水)。

  那么,請(qǐng)問(wèn)原來(lái)的算式是什么樣子的呢?

  5、巧動(dòng)火柴

  用16根火柴擺成5個(gè)正方形。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴,

  使

  正形變成4。

  6、折過(guò)來(lái)的角

  把正三角形的紙如圖那樣折過(guò)來(lái)時(shí),角?的度數(shù)是多少度?

  7、星形角之和

  求星形尖端的角度之和。

  8、。‰p胞胎?

  丈夫臨死前,給有身孕的妻子留下遺言說(shuō),生的是男孩就給他財(cái)產(chǎn)的 2/3 、如果生的是女孩就給他財(cái)產(chǎn)的 2/5 、剩下的給妻子。

  結(jié)果,生出來(lái)的是孿生兄妹——雙胞胎。這可難壞了妻子,3個(gè)人怎么分財(cái)產(chǎn)好呢?

  9、贈(zèng)送和降價(jià)哪個(gè)更好?

  1罐100元的咖啡,“買5罐送1罐”和“買5罐便宜20%”這兩種促銷方法哪一種好呢?還是兩種方法一樣好?

  10、折成15度

  用折紙做成45度很簡(jiǎn)單是吧。那么,請(qǐng)折成15度,你會(huì)嗎?

高中數(shù)學(xué)教案5

  教學(xué)目標(biāo):

  1.理解流程圖的選擇結(jié)構(gòu)這種基本邏輯結(jié)構(gòu).

  2.能識(shí)別和理解簡(jiǎn)單的框圖的功能.

  3. 能運(yùn)用三種基本邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程圖以解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

  教學(xué)方法:

  1. 通過(guò)模仿、操作、探索,經(jīng)歷設(shè)計(jì)流程圖表達(dá)求解問(wèn)題的過(guò)程,加深對(duì)流程圖的感知.

  2. 在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中,掌握基本的流程圖的畫法和流程圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu).

  教學(xué)過(guò)程:

  一、問(wèn)題情境

  1.情境:

  某鐵路客運(yùn)部門規(guī)定甲、乙兩地之間旅客托運(yùn)行李的費(fèi)用為

  其中(單位:)為行李的.重量.

  試給出計(jì)算費(fèi)用(單位:元)的一個(gè)算法,并畫出流程圖.

  二、學(xué)生活動(dòng)

  學(xué)生討論,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表達(dá).

  解 算法為:

  輸入行李的重量;

  如果,那么,

  否則;

  輸出行李的重量和運(yùn)費(fèi).

  上述算法可以用流程圖表示為:

  教師邊講解邊畫出第10頁(yè)圖1-2-6.

  在上述計(jì)費(fèi)過(guò)程中,第二步進(jìn)行了判斷.

  三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

  1.選擇結(jié)構(gòu)的概念:

  先根據(jù)條件作出判斷,再?zèng)Q定執(zhí)行哪一種

  操作的結(jié)構(gòu)稱為選擇結(jié)構(gòu).

  如圖:虛線框內(nèi)是一個(gè)選擇結(jié)構(gòu),它包含一個(gè)判斷框,當(dāng)條件成立(或稱條件為“真”)時(shí)執(zhí)行,否則執(zhí)行.

  2.說(shuō)明:(1)有些問(wèn)題需要按給定的條件進(jìn)行分析、比較和判斷,并按判

  斷的不同情況進(jìn)行不同的操作,這類問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)就要用到選擇結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì);

  (2)選擇結(jié)構(gòu)也稱為分支結(jié)構(gòu)或選取結(jié)構(gòu),它要先根據(jù)指定的條件進(jìn)行判斷,再由判斷的結(jié)果決定執(zhí)行兩條分支路徑中的某一條;

 。3)在上圖的選擇結(jié)構(gòu)中,只能執(zhí)行和之一,不可能既執(zhí)行,又執(zhí)

  行,但或兩個(gè)框中可以有一個(gè)是空的,即不執(zhí)行任何操作;

  (4)流程圖圖框的形狀要規(guī)范,判斷框必須畫成菱形,它有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和

  兩個(gè)退出點(diǎn).

  3.思考:教材第7頁(yè)圖所示的算法中,哪一步進(jìn)行了判斷?

高中數(shù)學(xué)教案6

  內(nèi)容分析:

  1、 集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念

  在小學(xué)數(shù)學(xué)中,就滲透了集合的初步概念,到了初中,更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語(yǔ)言表述一些問(wèn)題。例如,在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等;在幾何中用到的有點(diǎn)集。至于邏輯,可以說(shuō),從開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開(kāi)對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用,基本的邏輯知識(shí)在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中,也是認(rèn)識(shí)問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具。這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義,也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

  把集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)安排在高中數(shù)學(xué)的最開(kāi)始,是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中,這些知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系,它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)

  例如,下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì),就離不開(kāi)集合與邏輯。

  本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手,引出集合與集合的`元素的概念,并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說(shuō)明

  然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫圖表示集合的例子。

  這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念

  學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義

  本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念。

  集合是集合論中的原始的、不定義的概念

  在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí),主要還是通過(guò)實(shí)例,對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)

  教科書給出的“一般地,某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡(jiǎn)稱集

  ”這句話,只是對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明。

  教學(xué)過(guò)程:

  一、復(fù)習(xí)引入:

  1.簡(jiǎn)介數(shù)集的發(fā)展,復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),質(zhì)數(shù)與和數(shù);

  2.教材中的章頭引言;

  3.集合論的創(chuàng)始人——康托爾(德國(guó)數(shù)學(xué)家)(見(jiàn)附錄);

  4.“物以類聚”,“人以群分”;

  5.教材中例子(P4)。

  二、講解新課:

  閱讀教材第一部分,問(wèn)題如下:

 。1)有那些概念?是如何定義的?

 。2)有那些符號(hào)?是如何表示的?

 。3)集合中元素的特性是什么?

 。ㄒ唬┘系挠嘘P(guān)概念:由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說(shuō),每一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合,或者說(shuō),某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡(jiǎn)稱集.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.

  定義:一般地,某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合.

  1、集合的概念

 。1)集合:某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合(簡(jiǎn)稱集)

 。2)元素:集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素

  2、常用數(shù)集及記法

 。1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合,記作N,N={0,1,2,…}

  (2)正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集,記作N*或N+,N*={1,2,3,…}

 。3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合,記作Z ,Z={0,±1,±2,…}

 。4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合,記作Q,Q={整數(shù)與分?jǐn)?shù)}

 。5)實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合,記作R,R={數(shù)軸上所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)}

  注:(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,也就是說(shuō),自然數(shù)集包括數(shù)0

  (2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集,記作N*或N+

  Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,也是這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除0的集,表示成Z*

  3、元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系

 。1)屬于:如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于A,記作a∈A

 。2)不屬于:如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于A,記作aA

  4、集合中元素的特性

 。1)確定性:按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可

 。2)互異性:集合中的元素沒(méi)有重復(fù)

 。3)無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

  5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……

  元素通常用小寫的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

  ⑵“∈”的開(kāi)口方向,不能把a(bǔ)∈A顛倒過(guò)來(lái)寫。

高中數(shù)學(xué)教案7

  猴子搬香蕉

  一個(gè)小猴子邊上有100根香蕉,它要走過(guò)50米才能到家,每次它最多搬50根香蕉,(多了就被壓死了),它每走1米就要吃掉一根,請(qǐng)問(wèn)它最多能把多少根香蕉搬到家里?

  解答:

  100只香蕉分兩次,一次運(yùn)50只,走1米,再回去搬另外50只,這樣走了1米的時(shí)候,前50只吃掉了兩只,后50只吃掉了1只,剩下48+49只;兩米的時(shí)候剩下46+48只;...到16米的時(shí)候剩下(50-2×16)+(50-16)=18+34只;17米的時(shí)候剩下16+33只,共49只;然后把剩下的這49只一次運(yùn)回去,要走剩下的33米,每米吃一個(gè),到家還有16個(gè)香蕉。

  河岸的距離

  兩艘輪船在同一時(shí)刻駛離河的兩岸,一艘從A駛往B,另一艘從B開(kāi)往A,其中一艘開(kāi)得比另一艘快些,因此它們?cè)诰嚯x較近的岸500公里處相遇。到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)后,每艘船要停留15分鐘,以便讓乘客上下船,然后它們又返航。這兩艘渡輪在距另一岸100公里處重新相遇。試問(wèn)河有多寬?

  解答:

  當(dāng)兩艘渡輪在x點(diǎn)相遇時(shí),它們距A岸500公里,此時(shí)它們走過(guò)的距離總和等于河的寬度。當(dāng)它們雙方抵達(dá)對(duì)岸時(shí),走過(guò)的總長(zhǎng)度

  等于河寬的兩倍。在返航中,它們?cè)趜點(diǎn)相遇,這時(shí)兩船走過(guò)的距離之和等于河寬的三倍,所以每一艘渡輪現(xiàn)在所走的距離應(yīng)該等于它們第一次相遇時(shí)所走的距離的三倍。在兩船第一次相遇時(shí),有一艘渡輪走了500公里,所以當(dāng)它到達(dá)z點(diǎn)時(shí),已經(jīng)走了三倍的距離,即1500公里,這個(gè)距離比河的寬度多100公里。所以,河的寬度為1400公里。每艘渡輪的上、下客時(shí)間對(duì)答案毫無(wú)影響。

  變量交換

  不使用任何其他變量,交換a,b變量的值?

  分析與解答

  a = a+b

  b = a-b

  a= a-b

  步行時(shí)間

  某公司的辦公大樓在市中心,而公司總裁溫斯頓的家在郊區(qū)一個(gè)小鎮(zhèn)的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火車回小鎮(zhèn)。小鎮(zhèn)車站離家還有一段距離,他的私人司機(jī)總是在同一時(shí)刻從家里開(kāi)出轎車,去小鎮(zhèn)車站接總裁回家。由于火車與轎車都十分準(zhǔn)時(shí),因此,火車與轎車每次都是在同一時(shí)刻到站。

  有一次,司機(jī)比以往遲了半個(gè)小時(shí)出發(fā)。溫斯頓到站后,找不到

  他的車子,又怕回去晚了遭老婆罵,便急匆匆沿著公路步行往家里走,途中遇到他的轎車正風(fēng)馳電掣而來(lái),立即招手示意停車,跳上車子后也顧不上罵司機(jī),命其馬上掉頭往回開(kāi)。回到家中,果不出所料,他老婆大發(fā)雷霆:“又到哪兒鬼混去啦!你比以往足足晚回了22分鐘??”。溫斯頓步行了多長(zhǎng)時(shí)間?

  解答:

  假如溫斯頓一直在車站等候,那么由于司機(jī)比以往晚了半小時(shí)出發(fā),因此,也將晚半小時(shí)到達(dá)車站。也就是說(shuō),溫斯頓將在車站空等半小時(shí),等他的轎車到達(dá)后坐車回家,從而他將比以往晚半小時(shí)到家。而現(xiàn)在溫斯頓只比平常晚22分鐘到家,這縮短下來(lái)的8分鐘是如果總裁在火車站死等的`話,司機(jī)本來(lái)要花在從現(xiàn)在遇到溫斯頓總裁的地點(diǎn)到火車站再回到這個(gè)地點(diǎn)上的時(shí)間。這意味著,如果司機(jī)開(kāi)車從現(xiàn)在遇到總裁的地點(diǎn)趕到火車站,單程所花的時(shí)間將為4分鐘。因此,如果溫斯頓等在火車站,再過(guò)4分鐘,他的轎車也到了。也就是說(shuō),他如果等在火車站,那么他也已經(jīng)等了30-4=26分鐘了。但是懼內(nèi)的溫斯頓總裁畢竟沒(méi)有等,他心急火燎地趕路,把這26分鐘全都花在步行上了。

  因此,溫斯頓步行了26分鐘。

  付清欠款

  有四個(gè)人借錢的數(shù)目分別是這樣的:阿伊庫(kù)向貝爾借了10美元;

  貝爾向查理借了20美元;查理向迪克借了30美元;迪克又向阿伊庫(kù)借了40美元。碰巧四個(gè)人都在場(chǎng),決定結(jié)個(gè)賬,請(qǐng)問(wèn)最少只需要?jiǎng)佑枚嗌倜澜鹁涂梢詫⑺星房钜淮胃肚澹?/p>

  解答:

  貝爾、查理、迪克各自拿出10美元給阿伊庫(kù)就可解決問(wèn)題了。這樣的話只動(dòng)用了30美元。最笨的辦法就是用100美元來(lái)一一付清。

  貝爾必須拿出10美元的欠額,查理和迪克也一樣;而阿伊庫(kù)則要收回借出的30美元。再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題只要有條理地分析就會(huì)很簡(jiǎn)單。養(yǎng)成經(jīng)常性地歸納整理、摸索實(shí)質(zhì)的好習(xí)慣。

  一美元紙幣

  注:美國(guó)貨幣中的硬幣有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元這幾種面值。

  一家小店剛開(kāi)始營(yíng)業(yè),店堂中只有三位男顧客和一位女店主。當(dāng)這三位男士同時(shí)站起來(lái)付帳的時(shí)候,出現(xiàn)了以下的情況:

 。1)這四個(gè)人每人都至少有一枚硬幣,但都不是面值為1美分或1美元的硬幣。

  (2)這四人中沒(méi)有一人能夠兌開(kāi)任何一枚硬幣。

  (3)一個(gè)叫盧的男士要付的賬單款額最大,一位叫莫的男士要

  付的帳單款額其次,一個(gè)叫內(nèi)德的男士要付的賬單款額最小。

 。4)每個(gè)男士無(wú)論怎樣用手中所持的硬幣付賬,女店主都無(wú)法找清零錢。

  (5)如果這三位男士相互之間等值調(diào)換一下手中的硬幣,則每個(gè)人都可以付清自己的賬單而無(wú)需找零。

 。6)當(dāng)這三位男士進(jìn)行了兩次等值調(diào)換以后,他們發(fā)現(xiàn)手中的硬幣與各人自己原先所持的硬幣沒(méi)有一枚面值相同。

 。7)隨著事情的進(jìn)一步發(fā)展,又出現(xiàn)如下的情況:

 。8)在付清了賬單而且有兩位男士離開(kāi)以后,留下的男士又買了一些糖果。這位男士本來(lái)可以用他手中剩下的硬幣付款,可是女店主卻無(wú)法用她現(xiàn)在所持的硬幣找清零錢。于是,這位男士用1美元的紙幣付了糖果錢,但是現(xiàn)在女店主不得不把她的全部硬幣都找給了他。

  現(xiàn)在,請(qǐng)你不要管那天女店主怎么會(huì)在找零上屢屢遇到麻煩,這三位男士中誰(shuí)用1美元的紙幣付了糖果錢?

  解答:

  對(duì)題意的以下兩點(diǎn)這樣理解:

 。2)中不能換開(kāi)任何一個(gè)硬幣,指的是如果任何一個(gè)人不能有2個(gè)5分,否則他能換1個(gè)10分硬幣。

  (6)中指如果A,B換過(guò),并且A,C換過(guò),這就是兩次交換。

高中數(shù)學(xué)教案8

  1. 該生能以校規(guī)班規(guī)嚴(yán)格要求自己。有較強(qiáng)的集體榮譽(yù)感,學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真,能吃苦,肯下功夫,成績(jī)穩(wěn)定。生活艱苦樸素,待人熱情大方,是個(gè)基礎(chǔ)扎實(shí),品德兼優(yōu)的好學(xué)生。

  2. 該生能嚴(yán)格遵守學(xué)校的規(guī)章制度。尊敬師長(zhǎng),團(tuán)結(jié)同學(xué)。熱愛(ài)集體,積極配合其他同學(xué)搞好班務(wù)工作,勞動(dòng)積極肯干。學(xué)習(xí)刻苦認(rèn)真,勤學(xué)好問(wèn),學(xué)習(xí)成績(jī)穩(wěn)定,學(xué)風(fēng)和工作作風(fēng)都較為踏實(shí),堅(jiān)持出滿勤,并能積極參加社會(huì)實(shí)踐和文體活動(dòng),勞動(dòng)積極。是一位發(fā)展全面的好學(xué)生。

  3. 你是同學(xué)擁護(hù)、老師信任的班委,乖巧懂事、伶俐開(kāi)朗、自信大方、樂(lè)觀合群,是同學(xué)們學(xué)習(xí)的榜樣。你愛(ài)護(hù)集體榮譽(yù),有很強(qiáng)的工作能力,總是及時(shí)協(xié)助老師完成班務(wù)工作,是老師的得力幫手。你心性坦蕩,個(gè)性鮮明,能大膽說(shuō)出自己的想法,難能可貴。而你在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的爆發(fā)力更讓老師同學(xué)們驚嘆!潛力深厚,希望在高中時(shí)期能逐漸發(fā)掘出來(lái)!

  4. 你是個(gè)做事小心翼翼,感情細(xì)膩豐富的女孩,每次看你認(rèn)真的樣子老師都很感動(dòng)。你也是幸運(yùn)的,周邊有很多人都在關(guān)愛(ài)著你,所以,對(duì)他們,尤其是父母,記得不要太莽撞,不要太任性,要學(xué)著體諒,學(xué)著換位思考,學(xué)著懂事。另外,今后要多運(yùn)動(dòng)、多鍛煉,有健康才能成就美好未來(lái)!

  5. 你堅(jiān)強(qiáng)勇敢、樂(lè)觀大方的性格讓老師非常欣賞。學(xué)習(xí)上始終保持著上進(jìn)好學(xué)的決心和韌性,生活中始終能做到豁達(dá)開(kāi)朗,還有著良好的審美和繪畫的專長(zhǎng),令人欽佩!以入世的態(tài)度做事,以出世的態(tài)度做人,這是我送你的一句話,希望你保持好心態(tài),迎接新的學(xué)習(xí)生活。

  6. 最有希望得成功者,并不是才干出眾的人,而是那些最善于利用時(shí)機(jī)去努力開(kāi)創(chuàng)的人。你是很有才華的孩子,老師希望你能把握好機(jī)會(huì),求得上進(jìn)。你聰明,但也有著許多人共同的毛病——粗心大意和缺乏毅力,若能集中精力持之以恒,堅(jiān)定目標(biāo)致力于學(xué)習(xí),定能大限度地發(fā)揮你的聰明才智!

  7. 該生遵紀(jì)守法,積極參加社會(huì)實(shí)踐和文體活動(dòng),集體觀念強(qiáng),勞動(dòng)積極肯干。是一位誠(chéng)實(shí)守信,思想上進(jìn),尊敬老師,團(tuán)結(jié)同學(xué),熱心助人,積極參加班集體活動(dòng),有體育特長(zhǎng),學(xué)習(xí)認(rèn)真,具有較好綜合素質(zhì)的優(yōu)秀學(xué)生。

  8. 你聰穎活潑,渾身洋溢青春氣息。你愛(ài)好廣泛,善鉆精思,具備一定能力,潛質(zhì)無(wú)限。但是在有些時(shí)候,在面臨一些問(wèn)題的時(shí)候,你總表現(xiàn)得太過(guò)緊張,其實(shí),征服畏懼、建立自信的最快最確實(shí)的方法,就是大膽地去做你認(rèn)為害怕的事,直到你獲得成功的經(jīng)驗(yàn)。繼續(xù)努力!

  9. 你是對(duì)3班這個(gè)集體的成長(zhǎng)貢獻(xiàn)很大的孩子,是老師的得力幫手。你干練沉穩(wěn),堅(jiān)強(qiáng)隱忍,能從大局出發(fā)考慮問(wèn)題,在很多時(shí)候能獨(dú)當(dāng)一面。你獨(dú)立能力強(qiáng),能夠吃苦,但在進(jìn)入高中的學(xué)習(xí)上卻顯得有些吃力。其實(shí)你還有很深的潛力尚未挖掘,找對(duì)方法,好好加油,世上沒(méi)有絕望的處境,只有對(duì)處境絕望的人,請(qǐng)樂(lè)觀一點(diǎn),踏實(shí)地走好接下來(lái)的每一步!

  10. 你是個(gè)能獨(dú)立、有主見(jiàn)的女孩,有自己的想法,有一定的決斷力。但是獨(dú)立不代表乖張,有想法不代表恣意妄為。令人高興的是,你在這點(diǎn)上做的還是不錯(cuò)的。晟君,老師希望你能一如既往地關(guān)注于學(xué)習(xí)而不懈怠,能堅(jiān)持懷揣著平和感恩的心態(tài)簡(jiǎn)單快樂(lè)地生活。

  11. 你給我的第一印象是有些沉默,其實(shí)和朋友在一起時(shí)還是很有自己想法的對(duì)吧?你看,你布置的新年教室多么出彩!請(qǐng)繼續(xù)秀出真實(shí)而精彩的你!這半個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)有點(diǎn)力不從心,請(qǐng)保持謹(jǐn)慎和細(xì)心,保持好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,及時(shí)彌補(bǔ)所缺漏的環(huán)節(jié),大步向前進(jìn)!

  12. 該生認(rèn)真遵守學(xué)校的規(guī)章制度,積極參加社會(huì)實(shí)踐和文體活動(dòng),集體觀念強(qiáng),勞動(dòng)積極肯干。尊敬師長(zhǎng),團(tuán)結(jié)同學(xué)。學(xué)習(xí)態(tài)度認(rèn)真,能吃苦,肯下功夫,成績(jī)穩(wěn)定上升。是有理想有抱負(fù),基礎(chǔ)扎實(shí),心理素質(zhì)過(guò)硬、全面發(fā)展的優(yōu)秀學(xué)生。

  13. 你是一個(gè)真誠(chéng)待人、溫柔可愛(ài)的女生。也許是因?yàn)槟阌行┎痪o不慢的性格,所以在學(xué)習(xí)上有時(shí)候行動(dòng)力不夠堅(jiān)決,造成了學(xué)習(xí)成績(jī)的不穩(wěn)定。請(qǐng)多利用假期時(shí)間好好補(bǔ)缺補(bǔ)漏,向上的姿態(tài)才是最重要的!

  14. 老師同學(xué)們都在說(shuō)你是個(gè)很有責(zé)任心和上進(jìn)心的孩子,在班級(jí)需要的時(shí)候,你承擔(dān)了勞動(dòng)委員的重任,經(jīng)常最后一個(gè)離開(kāi),就為了班級(jí)能有個(gè)整潔的環(huán)境。老師很感謝你!而更可貴的是,你懂得安排自己的時(shí)間,在工作的空隙抓緊時(shí)間做作業(yè)。希望下學(xué)期你的學(xué)習(xí)成績(jī)也能隨你的毅力和執(zhí)著步步攀升,加油,羽騰!

  15. 其實(shí)你擁有你自己都不確知的才華,從你的文字中可以讀出這樣的信息:你時(shí)常沉醉在自己的小世界中,做自己喜歡做的事情。老師希望你能敞開(kāi)心扉,多與旁人交流你快樂(lè)的體驗(yàn)和想法,不要吝嗇展示自己!還有,成功需要成本,時(shí)間也是一種成本,對(duì)時(shí)間的珍惜就是對(duì)成本的節(jié)約。請(qǐng)務(wù)必抓緊每寸光陰,努力學(xué)習(xí)!

  16. 你知道嗎?在世界上那些最容易的事情中,拖延時(shí)間是最不費(fèi)力的。而學(xué)習(xí)卻是艱辛的勞動(dòng)過(guò)程。表面安靜的你其實(shí)心里有著自己的想法和煩憂。于是在不經(jīng)意間,精力被不自覺(jué)地轉(zhuǎn)移到一些瑣事上,卻總無(wú)法完全集中心智于學(xué)業(yè)。也許你也已經(jīng)意識(shí)到,也有了些許進(jìn)步,那么請(qǐng)千萬(wàn)記住要持之以恒,要付出比別人更多倍的努力!

  17. 你是班級(jí)的數(shù)學(xué)科代表,老師很高興選擇你擔(dān)任這個(gè)職務(wù),不僅能促進(jìn)自己的進(jìn)步,而且也展現(xiàn)了你負(fù)責(zé)工作的一面。但是學(xué)習(xí)是要和工作一樣,需要一絲不茍的態(tài)度,包括上課的聽(tīng)講是否及時(shí)而有效,包括功課的完成是否嚴(yán)謹(jǐn)而認(rèn)真。下學(xué)期,愿看到一個(gè)更加全神貫注更加專心致志的你!

  18. 我一直難忘在運(yùn)動(dòng)會(huì)上你擔(dān)任前導(dǎo)牌的樣子,為班級(jí)添光增彩了不少!你有著繪畫的特長(zhǎng),是個(gè)善良、真誠(chéng)的女孩,有著細(xì)膩豐富的內(nèi)心,也許只需一點(diǎn)鼓勵(lì),你便會(huì)勇敢走下去,希望能在平時(shí)多聽(tīng)見(jiàn)你爽朗的笑聲!

  19. 可愛(ài)、熱情、謹(jǐn)小慎微,這都是你的代名詞。你略為靦腆的微笑讓人印象深刻。老師一直認(rèn)為你是能夠認(rèn)真仔細(xì)地作好每一件事情、成就每一個(gè)細(xì)節(jié)的,因此,希望你能珍惜時(shí)間,提高效率,在學(xué)習(xí)上狠狠加油!

  20. 其實(shí),任何事都是有重量的',那么,就看你把它變成壓力還是重力了。在這個(gè)方面,我很高興地看到你做的很好,你學(xué)習(xí)自覺(jué),成績(jī)便是努力的證明。老師安排你做物理科代表就是希望能多培養(yǎng)你的責(zé)任意識(shí)、大局意識(shí)和管理能力,希望以后在這方面能看到你更加出色的表現(xiàn)!

  21. 你是個(gè)可愛(ài)善良,懂事乖巧的女孩。作為語(yǔ)文科代表,兢兢業(yè)業(yè),一絲不茍。你對(duì)人也是特別真誠(chéng)熱情,偶爾透露出的憂郁是旁人不易察覺(jué)的。但是你知道,成長(zhǎng)就是破蛹成蝶的過(guò)程,高中是人生的重要階段,勇敢地邁好每一步吧,享受成長(zhǎng)帶來(lái)的所有痛苦和快樂(lè)!

  22. 你很有能力,也很潛力,但欠缺的卻是耐力和毅力。君子厚積而薄發(fā),希望你能振作精神,跟上進(jìn)度,迎頭趕上,期待你獲得更大的進(jìn)步!

  23. 你曾經(jīng)和我說(shuō)過(guò)你的理想,但你對(duì)理想的憧憬和你所付出的努力程度卻總是難成正比。若現(xiàn)在你覺(jué)得有障礙擋在前行之路上,那就說(shuō)明你還沒(méi)有把目標(biāo)看的足夠清楚。寧在事前心力交瘁的努力,事后悠然自得;也不要在事前悠然自得,而在臨事時(shí)無(wú)法適從。你現(xiàn)在欠缺的就是對(duì)自己發(fā)狠奮進(jìn)的恒心,柏宇,“要想人前顯貴,必定人后受罪”,成功要靠實(shí)踐去爭(zhēng)取,而不是光靠幾句好聽(tīng)的決心話!

  24. 你乖巧大方,組織能力一流,但在學(xué)習(xí)上總顯得有些力不從心。快馬加鞭迎頭趕上固然是必需,但也別太心急,要知道,欲速則不達(dá),只要踏實(shí)努力,不懂就問(wèn),采用適合自己的學(xué)習(xí)方法,就會(huì)看到進(jìn)步。也許剛開(kāi)始的時(shí)候進(jìn)步很小,小到你看不見(jiàn),但是不要灰心,萬(wàn)事開(kāi)頭難!將事前的憂慮,換為事前的思考和計(jì)劃,徹底放松,加強(qiáng)鍛煉,養(yǎng)足精神再迎戰(zhàn)!你能做到的,蔡煒,加油!

  25. 該生能遵守校紀(jì)班規(guī),尊敬師長(zhǎng),能與同學(xué)和睦相處,勤學(xué)好問(wèn),有較強(qiáng)的獨(dú)立鉆研能力,分析問(wèn)題比較深入、全面,在某些問(wèn)題上有獨(dú)特的見(jiàn)解,學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)诎嗌弦恢蹦鼙3智懊,?lè)于助人,能幫助學(xué)習(xí)有困難的同學(xué)。

  26. 不論在體育場(chǎng)還是教室里,看到你神采奕奕的樣子,總讓人聯(lián)想到“英姿颯爽”這四個(gè)字。這確是一個(gè)高中生應(yīng)該有的精神面貌。你做事認(rèn)真,顧全大局,真的非常難得。希望能保持這樣良好的狀態(tài),繼續(xù)前進(jìn)!也希望能夠多和老師同學(xué)交流,多提些對(duì)班集體建設(shè)的好建議!

  27. 該生能以校規(guī)班規(guī)嚴(yán)格要求自己,積極參加社會(huì)實(shí)踐和文體活動(dòng)。尊敬師長(zhǎng),團(tuán)結(jié)同學(xué)。集體觀念強(qiáng),勞動(dòng)積極肯干。積極參加各種集體活動(dòng)和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。學(xué)習(xí)目的明確,刻苦認(rèn)真,成績(jī)穩(wěn)定,是一個(gè)有理想、有抱負(fù),基礎(chǔ)扎實(shí),心理素質(zhì)過(guò)硬,全面發(fā)展的優(yōu)秀學(xué)生。

  28. 我很高興看到你是個(gè)有上進(jìn)心,有責(zé)任感,能夠讓家人、師長(zhǎng)寬慰的孩子。有努力就有回報(bào),你下半學(xué)期的表現(xiàn)不就證明了這一點(diǎn)嗎?進(jìn)步是隨著時(shí)間節(jié)節(jié)上升的,不要太過(guò)急躁,要知道,若你不給自己設(shè)限,則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。新學(xué)期要重整旗鼓,再接再勵(lì)!

  29. ××× 獨(dú)立性較強(qiáng),對(duì)自己的能力也有準(zhǔn)確的定位。建議今后學(xué)習(xí)上要養(yǎng)成勤思愛(ài)問(wèn)的習(xí)慣,不能做井底之蛙,滿足于現(xiàn)狀,要充分利用他人的智慧,最后達(dá)到“好風(fēng)憑借力,送我上青云”的目的。

  30. ××× 每天在教室,都能看到你埋頭苦讀的身影,可見(jiàn)讀書的態(tài)度很端正;而你每一次考試的成績(jī)雖然不拔尖,卻是在穩(wěn)步前進(jìn),可見(jiàn)讀書的效率還不錯(cuò)。請(qǐng)繼續(xù)保持這種虛心求學(xué)、穩(wěn)步前進(jìn)的態(tài)勢(shì),相信一年半以后的高考,你必將嶄露頭角,脫穎而出。

高中數(shù)學(xué)教案9

  教學(xué)目標(biāo):

  1、理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念;

  2、理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法;

  3、理解切線概念實(shí)際背景,培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化

  問(wèn)題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。

  教學(xué)重點(diǎn):

  理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。

  教學(xué)難點(diǎn):

  用“無(wú)限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點(diǎn)處切線的斜率。

  教學(xué)過(guò)程:

  一、問(wèn)題情境

  1、問(wèn)題情境。

  如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?

  如果將點(diǎn)P附近的曲線放大,那么就會(huì)發(fā)現(xiàn),曲線在點(diǎn)P附近看上去有點(diǎn)像是直線。

  如果將點(diǎn)P附近的曲線再放大,那么就會(huì)發(fā)現(xiàn),曲線在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線。事實(shí)上,如果繼續(xù)放大,那么曲線在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的'直線,該直線是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。

  因此,在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線來(lái)代替曲線,也就是說(shuō),點(diǎn)P附近,曲線可以看出直線(即在很小的范圍內(nèi)以直代曲)。

  2、探究活動(dòng)。

  如圖所示,直線l1,l2為經(jīng)過(guò)曲線上一點(diǎn)P的兩條直線,

 。1)試判斷哪一條直線在點(diǎn)P附近更加逼近曲線;

  (2)在點(diǎn)P附近能作出一條比l1,l2更加逼近曲線的直線l3嗎?

  (3)在點(diǎn)P附近能作出一條比l1,l2,l3更加逼近曲線的直線嗎?

  二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

  切線定義: 如圖,設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn),直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng),割線PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線C,當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí),直線PQ最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l,這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。

  思考:如上圖,P為已知曲線C上的一點(diǎn),如何求出點(diǎn)P處的切線方程?

  三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

  例1 試求在點(diǎn)(2,4)處的切線斜率。

  解法一 分析:設(shè)P(2,4),Q(xQ,f(xQ)),

  則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)Q沿曲線逼近點(diǎn)P時(shí),割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線,從而割線斜率逼近切線斜率;

  當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)無(wú)限趨近于P點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí),即xQ無(wú)限趨近于2時(shí),kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)4。

  從而曲線f(x)=x2在點(diǎn)(2,4)處的切線斜率為4。

  解法二 設(shè)P(2,4),Q(xQ,xQ2),則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí),kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)4,從而曲線f(x)=x2,在點(diǎn)(2,4)處的切線斜率為4。

  練習(xí) 試求在x=1處的切線斜率。

  解:設(shè)P(1,2),Q(1+Δx,(1+Δx)2+1),則割線PQ的斜率為:

  當(dāng)?x無(wú)限趨近于0時(shí),kPQ無(wú)限趨近于常數(shù)2,從而曲線f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率為2。

  小結(jié) 求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率的一般步驟:

 。1)找到定點(diǎn)P的坐標(biāo),設(shè)出動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo);

  (2)求出割線PQ的斜率;

  (3)當(dāng)時(shí),割線逼近切線,那么割線斜率逼近切線斜率。

  思考 如上圖,P為已知曲線C上的一點(diǎn),如何求出點(diǎn)P處的切線方程?

  解 設(shè)

  所以,當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí),無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率。

  變式訓(xùn)練

  1。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;

  2。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程;

  3。已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。

  課堂練習(xí)

  已知,求曲線在處的切線斜率和切線方程。

  四、回顧小結(jié)

  1、曲線上一點(diǎn)P處的切線是過(guò)點(diǎn)P的所有直線中最接近P點(diǎn)附近曲線的直線,則P點(diǎn)處的變化趨勢(shì)可以由該點(diǎn)處的切線反映(局部以直代曲)。

  2、根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法, 可以求出曲線在一點(diǎn)處的切線斜率和方程。

  五、課外作業(yè)

高中數(shù)學(xué)教案10

  教材分析:

  三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教B版)數(shù)學(xué)必修四,第一章第二節(jié)內(nèi)容,其主要內(nèi)容是公式(一)至公式(四)。本節(jié)課是第二課時(shí),教學(xué)內(nèi)容是公式(三)。教材要求通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)定義和公式(一)(二)的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

  教案背景:

  通過(guò)學(xué)生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)定義和公式(一)(二)的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的關(guān)系。同時(shí)教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,為培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣提出了要求。因此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位.

  教學(xué)方法:

  以學(xué)生為主題,以發(fā)現(xiàn)為主線,盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,采用提出問(wèn)題、啟發(fā)引導(dǎo)、共同探究、綜合應(yīng)用等教學(xué)模式。

  教學(xué)目標(biāo):

  借助單位圓探究誘導(dǎo)公式。

  能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)。

  教學(xué)重點(diǎn):

  誘導(dǎo)公式(三)的推導(dǎo)及應(yīng)用。

  教學(xué)難點(diǎn):

  誘導(dǎo)公式的應(yīng)用。

  教學(xué)手段:

  多媒體。

  教學(xué)情景設(shè)計(jì):

  一.復(fù)習(xí)回顧:

  1. 誘導(dǎo)公式(一)(二)。

  2. 角 (終邊在一條直線上)

  3. 思考:下列一組角有什么特征?( )能否用式子來(lái)表示?

  二.新課:

  已知 由

  可知

  而 (課件演示,學(xué)生發(fā)現(xiàn))

  所以

  于是可得: (三)

  設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合幾何畫板的演示利用同一點(diǎn)的坐標(biāo)變換,導(dǎo)出公式。

  由公式(一)(三)可以看出,角 角 相等。即:

  .

  公式(一)(二)(三)都叫誘導(dǎo)公式。利用誘導(dǎo)公式可以求三角函數(shù)式的值或化簡(jiǎn)三角函數(shù)式。

  設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合學(xué)過(guò)的公式(一)(二),發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),總結(jié)公式。

  1. 練習(xí)

  (1)

  設(shè)計(jì)意圖:利用公式解決問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題,小組研究討論,得到新公式。

  (學(xué)生板演,老師點(diǎn)評(píng),用彩色粉筆強(qiáng)調(diào)重點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式。)

  三.例題

  例3:求下列各三角函數(shù)值:

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

  例4:化簡(jiǎn)

  設(shè)計(jì)意圖:利用公式解決問(wèn)題。

  練習(xí):

  (1)

  (2) (學(xué)生板演,師生點(diǎn)評(píng))

  設(shè)計(jì)意圖:觀察公式特點(diǎn),選擇公式解決問(wèn)題。

  四.課堂小結(jié):將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,熟練應(yīng)用解決問(wèn)題。

  五.課后作業(yè):課后練習(xí)A、B組

  六.課后反思與交流

  很榮幸大家來(lái)聽(tīng)我的課,通過(guò)這課,我學(xué)習(xí)到如下的東西:

  1.要認(rèn)真的研讀新課標(biāo),對(duì)教學(xué)的目標(biāo),重難點(diǎn)把握要到位

  2.注意板書設(shè)計(jì),注重細(xì)節(jié)的東西,語(yǔ)速需要改正

  3.進(jìn)一步的學(xué)習(xí)網(wǎng)頁(yè)制作,讓你的網(wǎng)頁(yè)更加的完善,學(xué)生更容易操作

  4.盡可能讓你的學(xué)生自主提出問(wèn)題,自主的思考,能夠化被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí),充分享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣

  5.上課的生動(dòng)化,形象化需要加強(qiáng)

  聽(tīng)課者評(píng)價(jià):

  1.評(píng)議者:網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué),起到了很好的效果;教態(tài)大方,作為新教師,開(kāi)設(shè)校際課,勇氣可嘉!建議:感覺(jué)到老師有點(diǎn)緊張,其實(shí)可以放開(kāi)點(diǎn)的,相信效果會(huì)更好的'!重點(diǎn)不夠清晰,有引導(dǎo)數(shù)學(xué)時(shí),最好值有個(gè)側(cè)重點(diǎn);網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)上,網(wǎng)頁(yè)上公開(kāi)的推導(dǎo)公式為上,留有更大的空間讓學(xué)生來(lái)思考。

  2.評(píng)議者:網(wǎng)絡(luò)教學(xué)效果良好,給學(xué)生自主思考,學(xué)習(xí)的空間發(fā)揮,教學(xué)設(shè)計(jì)得好;建議:課堂講課聲音,語(yǔ)調(diào)可以更有節(jié)奏感一些,抑揚(yáng)頓挫應(yīng)注意課堂例題練習(xí)可以多兩題。

  3.評(píng)議者:學(xué)科網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的使用;建議:應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生將一些唾手可得的有用結(jié)論總結(jié)出來(lái),并形成自我的經(jīng)驗(yàn)。

  4.評(píng)議者:引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行探究。

  建議:課件制作在線測(cè)評(píng)部分,建議不能重復(fù)選擇,應(yīng)全部做完后,顯示結(jié)果,再重復(fù)測(cè)試;多提問(wèn)學(xué)生。

  ( 1)給學(xué)生思考的時(shí)間較長(zhǎng),語(yǔ)調(diào)相對(duì)平緩,總結(jié)時(shí),給學(xué)生一些激勵(lì)的語(yǔ)言更好

  ( 2)這樣子的教學(xué)可以提高上課效率,讓學(xué)生更多的時(shí)間思考

  ( 3)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的使用,使得學(xué)生的參與度明顯提高,存在問(wèn)題:1.公式對(duì)稱性的誘導(dǎo),點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱的誘導(dǎo),終邊的關(guān)系的誘導(dǎo),要進(jìn)一步的修正;2.公式的概括要注意引導(dǎo)學(xué)生怎么用,學(xué)習(xí)這個(gè)誘導(dǎo)公式的作用

  ( 4)給學(xué)生答案,這個(gè)網(wǎng)頁(yè)要進(jìn)一步的修正,答案能否不要一點(diǎn)就出來(lái)

  ( 5)1.板書設(shè)計(jì)要進(jìn)一步的加強(qiáng),2.語(yǔ)速相對(duì)是比較快的3.練習(xí)量比較少

  ( 6)讓學(xué)生多探究,課堂會(huì)更熱鬧

  ( 7)注意引入的過(guò)程要帶有目的,帶著問(wèn)題來(lái)教學(xué),學(xué)生帶著問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)

  ( 8)教學(xué)模式相對(duì)簡(jiǎn)單重復(fù)

  ( 9)思路較為清晰,規(guī)范化的推理

高中數(shù)學(xué)教案11

  一、什么是教學(xué)案例

  教學(xué)案例是真實(shí)而又典型且含有問(wèn)題的事件。簡(jiǎn)單地說(shuō),一個(gè)教學(xué)案例就是一個(gè)包含有疑難問(wèn)題的實(shí)際情境的描述,是一個(gè)教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中的故事,描述的是教學(xué)過(guò)程中“意料之外,情理之中的事”。

  這可以從以下幾個(gè)層次來(lái)理解:

  教學(xué)案例是事件:教學(xué)案例是對(duì)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)實(shí)際情境的描述。它講述的是一個(gè)故事,敘述的是這個(gè)教學(xué)故事的產(chǎn)生、發(fā)展的歷程,它是對(duì)教學(xué)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)性的把握。

  教學(xué)案例是含有問(wèn)題的事件:事件只是案例的基本素材,并不是所有的教學(xué)事件都可以成為案例。能夠成為案例的事件,必須包含有問(wèn)題或疑難情境在內(nèi),并且也可能包含有解決問(wèn)題的方法在內(nèi)。正因?yàn)檫@一點(diǎn),案例才成為一種獨(dú)特的研究成果的表現(xiàn)形式。

  案例是真實(shí)而又典型的事件:案例必須是有典型意義的,它必須能給讀者帶來(lái)一定的啟示和體會(huì)。案例與故事之間的根本區(qū)別是:故事是可以杜撰的,而案例是不能杜撰和抄襲的,它所反映的是真是發(fā)生的事件,是教學(xué)事件的真實(shí)再現(xiàn)。是對(duì)“當(dāng)前”課堂中真實(shí)發(fā)生的實(shí)踐情景的描述。它不能用“搖擺椅子上杜撰的事實(shí)來(lái)替代”,也不能從抽象的、概括化的理論中演繹的事實(shí)來(lái)替代。

  二、如何進(jìn)行教學(xué)案例研究

  教學(xué)案例是教師教學(xué)行為真實(shí)、典型的記錄,也是教師教學(xué)理念和教學(xué)思想的真實(shí)體現(xiàn)。因此它是教育教學(xué)研究的寶貴資源,也是教師之間交流的重要媒介。進(jìn)行教學(xué)案例的研究是教師不斷反思、改進(jìn)自己教學(xué)的一種方法,能促使教師更為深刻地認(rèn)識(shí)到自己工作中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。這個(gè)過(guò)程就是教師自我教育和成長(zhǎng)的過(guò)程。

  那么如何進(jìn)行教學(xué)案例研究呢?一般情況下,案例研究的程序基本有以下兩個(gè)環(huán)節(jié):案例研究的準(zhǔn)備及實(shí)施、案例研究報(bào)告的撰寫與反思。

  (一)案例研究的準(zhǔn)備與實(shí)施

  1.研究主題的選擇

  案例研究都要有研究的重點(diǎn)和主題,這個(gè)主題常與教學(xué)改革的核心理念、常見(jiàn)的疑難問(wèn)題和困惑事件相關(guān),一般來(lái)說(shuō)可以從教學(xué)的各個(gè)方面確定研究的主題,如從教師教學(xué)行為確定主題——教學(xué)材料的選擇、教學(xué)中的提問(wèn)、教學(xué)媒體的使用、教學(xué)評(píng)價(jià)語(yǔ)言、課堂教學(xué)調(diào)控行為等;也可以從學(xué)生的學(xué)習(xí)方式確定主題——探究性學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、實(shí)踐性活動(dòng)等。另外從學(xué)科特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容等都可以確定研究的主題。

  研究者要了解當(dāng)前教學(xué)的大背景,教改的大方向,要熟悉相關(guān)的《課程標(biāo)準(zhǔn)》和有針對(duì)性地作一些理論準(zhǔn)備。還要通過(guò)有關(guān)的調(diào)查,搜集詳盡的材料(如閱讀教師的教學(xué)設(shè)計(jì),進(jìn)行訪談等),同時(shí)初步確定案例研究的方向、研究任務(wù),即初步確定案例的內(nèi)容是關(guān)于教學(xué)策略、學(xué)生行為或是教學(xué)技能的研究。

  一般來(lái)說(shuō),案例研究主題的確定往往需要思考下面一些問(wèn)題:即研究的事件是否對(duì)于自我發(fā)現(xiàn)更有潛力?選擇的事件對(duì)學(xué)生是否有較大的情感影響(心靈是否受到震撼)?關(guān)鍵事件再現(xiàn)了前人(或自己)過(guò)去成功的行為嗎?事件呈現(xiàn)的是一個(gè)你不能確定怎樣解決的問(wèn)題?事件需要你做出困難的.選擇嗎?事件使得你必須以一種感覺(jué)不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答嗎?事件暗示一個(gè)與道德或道義上相關(guān)的問(wèn)題嗎?研究的主題如果反映以上的一些內(nèi)容,那么這樣的案例研究在自我學(xué)習(xí)、內(nèi)省和深層次理解方面就可能更加富有成效。

  高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究的主題內(nèi)容主要集中在三方面:(1)學(xué)科特點(diǎn)的體現(xiàn):如數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)、本質(zhì)屬性的抽象、數(shù)學(xué)結(jié)論的推廣等;(2)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的探究:如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、解決問(wèn)題的思維方式、獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)等;(3)教師專業(yè)知識(shí)的提升:如數(shù)學(xué)板書與電子屏幕的展示對(duì)學(xué)生思維的影響、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練對(duì)人們思維的影響、數(shù)學(xué)知識(shí)模式化教學(xué)的優(yōu)劣等。

  2.案例研究的基本方法

  (1)課堂觀察。觀察方法是指研究者按照一定的目的和計(jì)劃,在課堂教學(xué)活動(dòng)的自然狀態(tài)下,用自己的感官和輔助工具對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行觀察研究的一種方法。它可以是教師自己對(duì)教學(xué)對(duì)象——學(xué)生,在課堂活動(dòng)中的片斷進(jìn)行觀察,也可以由其他教師來(lái)實(shí)施觀察,這兩種觀察的目的都是為了掌握課堂教學(xué)中的第一手資料。課堂觀察方法不限于用肉眼觀察、耳聽(tīng)手記,還可利用各種工具如照相、錄音、攝像等作為輔助觀察的手段,以提高觀察的效果。對(duì)觀察的資料,可以逐字逐句整理成課堂教學(xué)實(shí)錄、教學(xué)程序表、提問(wèn)技巧水平檢核表、提問(wèn)行為類型頻次表、課堂教學(xué)時(shí)間分配表等,以便以后繼續(xù)分析案例提供翔實(shí)的原始材料。

  (2)訪談與調(diào)查。對(duì)一些課堂教學(xué)不能觀察到的師生內(nèi)心活動(dòng),如教師教學(xué)的目的、教學(xué)程序的意圖、教學(xué)手段的運(yùn)用以及教學(xué)達(dá)標(biāo)的成效等一些需要進(jìn)一步了解的問(wèn)題,可以通過(guò)與執(zhí)教教師的交談以及和學(xué)生的座談,以豐富和充實(shí)課堂教學(xué)觀察的材料;對(duì)學(xué)生在課堂教學(xué)活動(dòng)中回答問(wèn)題的心理狀態(tài)、解題思路等問(wèn)題,也可以在課后做一些問(wèn)卷調(diào)查;對(duì)學(xué)生達(dá)標(biāo)的成度、效度,也可以作一些測(cè)試調(diào)查。從這些訪談、調(diào)查的材料中,再分析課堂教學(xué)的現(xiàn)象,不難發(fā)現(xiàn)造成各種課堂現(xiàn)象與教師教學(xué)行為之間的因果關(guān)系,然后再具體尋找在哪個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)問(wèn)題,從中提煉出解決問(wèn)題的對(duì)策。

  (3)文獻(xiàn)分析。文獻(xiàn)分析是通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料,從過(guò)去和現(xiàn)在的有關(guān)研究成果中受到啟發(fā),從中找到課堂教學(xué)現(xiàn)象的理論依據(jù),從而增強(qiáng)案例分析的說(shuō)服力。當(dāng)然,對(duì)廣大第一線教師而言,這里所運(yùn)用的文獻(xiàn)分析方法,并不是為了論證新教育理論,也不是去歸納教育的宏觀現(xiàn)象,而是通過(guò)有關(guān)教育理論文獻(xiàn)的查閱,去進(jìn)一步解讀課堂教學(xué)的活動(dòng),挖掘案例中的教育思想。如在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們常常通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作來(lái)獲得有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、法則與公式,那么,為什么要這樣做呢?就可以帶著問(wèn)題,查閱、分析有關(guān)文獻(xiàn)資料,從學(xué)習(xí)中提高研究者自身的理論水平。

  (二)案例研究報(bào)告的撰寫

  1.常見(jiàn)的案例報(bào)告格式

  撰寫教學(xué)案例,結(jié)構(gòu)可以靈活多樣,并非要千篇一律、一個(gè)模式,而是可以有不同的表現(xiàn)形式,如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例過(guò)程——案例反思”、“課例——問(wèn)題——分析”、“主題與背景——情景描述——問(wèn)題討論——詮釋與研究”等。當(dāng)前,國(guó)內(nèi)外課堂教學(xué)案例編寫的格式有多種多樣。但不管何種編寫格式,它們都有兩個(gè)共同的特點(diǎn):一是對(duì)案例的客觀描述;二是對(duì)案例中所述問(wèn)題、關(guān)鍵教學(xué)事件等的分析。

  下面介紹兩種常用的案例編寫的格式:

  (1)“描述+分析”式

  此格式的特點(diǎn)是將整個(gè)案例分為兩大部分,前半部分主要為描述課堂教學(xué)活動(dòng)的情景,后半部分主要針對(duì)情景中的一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行理論分析并獲得結(jié)論。案例的描述一般是把課堂教學(xué)活動(dòng)中的某一片斷像講故事一樣原原本本地、具體生動(dòng)地描繪出來(lái)。描述的形式可以是一串問(wèn)答式的課堂對(duì)話,也可以概括式地?cái)⑹,主要是提供一個(gè)或一連串課堂教學(xué)疑難的問(wèn)題,并把教育理論、教育思想隱藏在描述之中。案例的分析部分是針對(duì)描述的情景發(fā)表個(gè)人或多人的感受,同時(shí)加以理論的分析與說(shuō)明。分析方法可以是對(duì)描述中提出的一個(gè)問(wèn)題,從幾個(gè)方面加以分析:也可以是對(duì)描述中的幾個(gè)問(wèn)題,集中從一個(gè)方面加以分析。分析的目的是要從描述的情景中提煉問(wèn)題的本質(zhì),講述理論的解釋,明確正確的方法,最終獲得對(duì)關(guān)鍵教學(xué)事件的正確把握。

  (2)“背景+描述+問(wèn)題+詮釋”式

  此格式是一種要求比較高的編寫格式,而且,它在實(shí)際教學(xué)中的作用也更大。通常它將整個(gè)案例分為四個(gè)部分:

  A.主題與背景

  主題是關(guān)鍵教學(xué)事件中所反映的案例主要觀點(diǎn),也是整篇案例的核心思想。背景主要敘述案例發(fā)生的地點(diǎn)、時(shí)間、人物的一些基本情況。當(dāng)然,這部分的內(nèi)容不宜很長(zhǎng),只需提綱挈領(lǐng)敘述清楚即可。

  B.情景描述

  與“描述+分析”式中的描述相同,主要突出主題所反映的課堂教學(xué)活動(dòng)。

  C.問(wèn)題討論

  這是根據(jù)主題要求與情景描述,進(jìn)行的分析、歸納、總結(jié)與提煉,包括學(xué)科知識(shí)的要點(diǎn)、教學(xué)法和情景特點(diǎn)以及案例的說(shuō)明與注意事項(xiàng)。這部分內(nèi)容主要是為案例教學(xué)服務(wù)的,目的是提高教師的認(rèn)識(shí)水平與學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力。不同的教學(xué)觀念,不同的教學(xué)手段,所提出的問(wèn)題也不同。對(duì)案例中所提出的主題以及情景描述中提出的問(wèn)題闡述自己的見(jiàn)解。

  D.詮釋與研究

  這部分主要是用教育理論對(duì)案例情景作多角度的解讀。它包括對(duì)課堂教學(xué)行為的技術(shù)資料、課堂教學(xué)實(shí)錄以及教學(xué)活動(dòng)背后的故事等作理論上的分析。例如,在課堂教學(xué)中,我們?吹竭@樣的現(xiàn)象,課堂教學(xué)的效果高于預(yù)期的目標(biāo),反之教師期望的目標(biāo)學(xué)生沒(méi)有達(dá)到或有所偏離,教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的先后與學(xué)生理解的程度、教學(xué)方法運(yùn)用與學(xué)生內(nèi)在動(dòng)機(jī)的激發(fā)等環(huán)節(jié)存在著矛盾,這些事件的背后,必然隱含著豐富的教育思想。所以,通過(guò)詮釋,挖掘這些事件背后的內(nèi)在思想,揭示其教育規(guī)律就顯得十分的必要。

  2.案例報(bào)告撰寫的關(guān)鍵

  (1)掌握四個(gè)原則。要寫好教學(xué)案例,除了平時(shí)多積累素材,學(xué)習(xí)他人的案例作品以提高寫作技巧外,還應(yīng)把握以下四點(diǎn):

  A.主題性原則:要有捕捉關(guān)鍵教學(xué)事件的意識(shí),以此確定案例研究的主題。為此要注意了解新的課程改革的動(dòng)向、把握適合時(shí)代要求的數(shù)學(xué)教育方式、明確學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和重點(diǎn),尋找數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的途徑與規(guī)律。報(bào)告圍繞主題進(jìn)行情景描述和獲得解決問(wèn)題的策略。這種描述不是簡(jiǎn)單的教學(xué)活動(dòng)實(shí)錄,要反映事件發(fā)生的過(guò)程,重點(diǎn)描述反映關(guān)鍵教學(xué)事件的變化和戲劇化的情境,猶如記敘文寫作,突出主題,詳寫重點(diǎn),雕刻高潮。

  案例鮮明的主題通常關(guān)系到教學(xué)的核心理念、常見(jiàn)問(wèn)題、處理方法等等,可以說(shuō),主題就是案例的靈魂。而主題的最佳表現(xiàn)形式就是文題直接體現(xiàn)主題。因此,設(shè)計(jì)主題就要有新意、有時(shí)代感,通俗地說(shuō)就是與眾不同,要有獨(dú)特見(jiàn)解、獨(dú)家發(fā)現(xiàn)。來(lái)源于實(shí)踐的教學(xué)案例并非都有同等價(jià)值,關(guān)鍵要看撰寫者對(duì)實(shí)踐的發(fā)展與理論的升華程度,包括對(duì)題目的推敲。如有的教學(xué)案例重點(diǎn)描述了有戲劇性的情節(jié),用了“細(xì)節(jié)決定成敗”的題目,給人耳目一新,一下子揪住了讀者的心。再如,一些有創(chuàng)意的題目《“導(dǎo)之有方”方能“導(dǎo)之有效”》、《跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)》、《在數(shù)學(xué)的疑難處悟成長(zhǎng)》、《捕捉資源因勢(shì)利導(dǎo)》等等,讓人一看題目就有閱讀的欲望。實(shí)踐證明,在寫作案例時(shí),選擇有感悟、有新意的內(nèi)容,在明確主題,恰當(dāng)擬題后再動(dòng)筆,才能寫出高質(zhì)量的案例。

  B.理論性原則:解決問(wèn)題的策略中應(yīng)當(dāng)蘊(yùn)含一定的教育基本原理和教育思想。實(shí)際是將自己對(duì)教育理念以及教育基本原理的理解滲透于描述的字里行間,比如學(xué)生做了什么,參與程度,投入程度如何,教師如何引導(dǎo)點(diǎn)撥,師生心理、行為變化情況等,無(wú)不體現(xiàn)教師的教學(xué)思想和教育基本原理。

  C.敘事性原則:案例報(bào)告的書寫方式是敘事式,它不同于論述式。敘事方式必須以課堂教學(xué)生動(dòng)的事實(shí)為主要情節(jié),可以?shī)A敘夾議,也可以選擇情景片段,可以是一節(jié)課中的情景,也可以是圍繞一個(gè)主題的幾節(jié)課的情景片段。

  D.學(xué)科性原則:數(shù)學(xué)案例報(bào)告一定要體現(xiàn)學(xué)科的特征,要有較深刻的理性思考,要反映數(shù)學(xué)的基本思想與方法,要符合課程標(biāo)準(zhǔn),滿足教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方法,積極培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。就是撰寫者的教育思想和教育理念在教學(xué)實(shí)踐中具體體現(xiàn)。

  (2)用好四種表述。教學(xué)案例的表述方法很多,可以歸納為以下四種方法:

  A.故事式陳述法:就是教學(xué)全程或某一精彩教學(xué)片段實(shí)錄,包括教師和學(xué)生的一言一行。陳述時(shí),根據(jù)操作程序作一點(diǎn)“簡(jiǎn)評(píng)”,最后作“總評(píng)”。

  B.以案說(shuō)理:對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行陳述時(shí),舍去與文題不相關(guān)或不重要的部分,并強(qiáng)化與主題相關(guān)的重要情節(jié),尤其是引發(fā)高潮的關(guān)鍵行為,然后有較長(zhǎng)篇幅的理性思考。

  C.圖表展示法:用圖表進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的形式體現(xiàn)撰寫者的教育思想,給人以一目了然的感覺(jué),幫助讀者迅速了解撰寫者的寫作意圖,是常用的一種案例撰寫方法。比如,描述學(xué)生的參與人數(shù),投入程度,解決問(wèn)題的質(zhì)量等多個(gè)問(wèn)題,都可以在一張或數(shù)張圖表上用百分比或個(gè)(次)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在每一張圖表后,應(yīng)有一段“分析”或“結(jié)論”,將撰寫者的教學(xué)理念進(jìn)行理性闡述,亦可在圖表展示后,總的提出自己對(duì)案例的分析和建議。

  D.分析討論法:在撰寫時(shí),應(yīng)汲取分析討論中最精彩的部分做深入、細(xì)致的全面記錄,最后撰寫者還必須對(duì)討論情況做一分析,或提出一些值得今后進(jìn)一步思考的問(wèn)題。

  3.優(yōu)秀案例的特征

  (1)時(shí)代性:一個(gè)好的案例描述的是現(xiàn)實(shí)生活場(chǎng)景——案例的敘述要把事件置于一個(gè)時(shí)空框架之中,應(yīng)該以關(guān)注今天所面臨的疑難問(wèn)題為著眼點(diǎn),至少應(yīng)該是近年發(fā)生的事情,展示的整個(gè)事實(shí)材料應(yīng)該與整個(gè)時(shí)代及教學(xué)背景相照應(yīng),這樣的案例讀者更愿意接觸。一個(gè)好的案例可以使讀者有身臨其境的感覺(jué),并對(duì)案例所涉及的人產(chǎn)生移情作用。

  (2)真實(shí)性:一個(gè)好的案例應(yīng)該包括從案例所反映的對(duì)象那里引述的材料——案例寫作必須持一種客觀的態(tài)度,因此可引述一些口頭的或書面的、正式的或非正式的材料,如對(duì)話、筆記、信函等,以增強(qiáng)案例的真實(shí)感和可讀性。重要的事實(shí)性材料應(yīng)注明資料來(lái)源。

  (3)適用性:一個(gè)好的案例需要針對(duì)面臨的疑難問(wèn)題提出解決辦法——案例不能只是提出問(wèn)題,它必須提出解決問(wèn)題的主要思路、具體措施,并包含著解決問(wèn)題的詳細(xì)過(guò)程,這應(yīng)該是案例寫作的重點(diǎn)。如果一個(gè)問(wèn)題可以提出多種解決辦法的話,那么最為適宜的方案,就應(yīng)該是與特定的背景材料相關(guān)最密切的那一個(gè)。如果有包治百病、普遍適用的解決問(wèn)題的辦法,那么案例這種形式就不必要存在了。

  (4)反思性:一個(gè)好的案例需要有對(duì)已經(jīng)做出的解決問(wèn)題的決策的評(píng)價(jià)——評(píng)價(jià)是為了給新的決策提供參考點(diǎn)?稍诎咐拈_(kāi)頭或結(jié)尾寫下案例作者對(duì)自己解決問(wèn)題策略的評(píng)論,以點(diǎn)明案例的基本論點(diǎn)及其價(jià)值。

  三、案例研究過(guò)程中需注意的問(wèn)題

  1.選材面過(guò)窄。從內(nèi)容上看,多數(shù)案例是關(guān)于課堂教學(xué)甚至局限于一節(jié)課的研究,往往不能說(shuō)明問(wèn)題,或者在一節(jié)課中,也只會(huì)從簡(jiǎn)單的對(duì)話分析問(wèn)題,做不到全方位、多角度。這說(shuō)明教師對(duì)教學(xué)情境的豐富性、復(fù)雜性和聯(lián)系性認(rèn)識(shí)不夠。

  2.缺乏典型性。有的案例對(duì)教學(xué)實(shí)踐沒(méi)有挖掘與反思,隨意摘取一些教學(xué)片段泛泛而談、人云亦云,沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。不能夠通過(guò)對(duì)某一事件現(xiàn)象的分析、處理、詮釋,達(dá)到舉一反三的效果,這樣的案例對(duì)他人沒(méi)什么借鑒作用。

  3.主題不明確。主要體現(xiàn)為:

  (1)主題渙散。有的案例象記流水帳,沒(méi)有根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩,看不出作者要反映、探討什么?wèn)題,缺乏指導(dǎo)性、創(chuàng)新性和參考性。

  (2)定題過(guò)于隨意。有的案例直接用案例研究依據(jù)的文題為題目,如《“三角函數(shù)”教學(xué)案例》、《“拋物線”教學(xué)案例》等,題目不鮮明、不形象,影響讀者的選讀和案例的傳播。

  4.結(jié)構(gòu)不合理。案例作為一種文體,有它自己的寫作結(jié)構(gòu),只有優(yōu)化案例的結(jié)構(gòu),才能增強(qiáng)案例的可讀性和指導(dǎo)性。如寫成一般的教學(xué)設(shè)計(jì),一般包括“備課思路、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)方法、課前準(zhǔn)備、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程”等內(nèi)容;寫成教學(xué)實(shí)錄,把一堂課從頭到尾詳盡地記錄下來(lái),再寫上作者的看法;重記錄輕分析,過(guò)程描述多,評(píng)析少等等。沒(méi)有創(chuàng)新,平淡無(wú)趣,看不出案例研究和反映的問(wèn)題。

  5.描述與分析脫節(jié)。有的案例描述與分析矛盾,讓人不知所云;有時(shí)反映的是一種觀點(diǎn),分析闡明的是另一種觀點(diǎn),雖然不矛盾,但聯(lián)系不緊密;有的分析中熱衷于抄錄教育理論的一些條條,脫離案例描述的事件而空談理論,顯得空泛無(wú)物。

高中數(shù)學(xué)教案12

  教學(xué)目標(biāo)

  1.了解映射的概念,象與原象的概念,和一一映射的概念.

 。1)明確映射是特殊的對(duì)應(yīng)即由集合 ,集合 和對(duì)應(yīng)法則f三者構(gòu)成的一個(gè)整體,知道映射的特殊之處在于必須是多對(duì)一和一對(duì)一的對(duì)應(yīng);

 。2)能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示映射, 把握映射與一一映射的區(qū)別;

 。3)會(huì)求給定映射的指定元素的象與原象,了解求象與原象的方法.

  2.在概念形成過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的觀察,比較和歸納的能力.

  3.通過(guò)映射概念的學(xué)習(xí),逐步提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究能力.

  教學(xué)建議

  教材分析

  (1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

  映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),一一映射又是一種特殊的映射,而且函數(shù)也是特殊的映射,它們之間的關(guān)系可以通過(guò)下圖表示出來(lái),如圖:

  由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系.

 。2)重點(diǎn),難點(diǎn)分析

  本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是映射和一一映射概念的形成與認(rèn)識(shí).

 、儆成涞母拍钍潜容^抽象的概念,它是在初中所學(xué)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái).教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)集合 B中的唯一這點(diǎn)要求的理解;

  映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的,對(duì)應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)成的整體,包括集 合A和集合B及對(duì)應(yīng)法則f,由于法則的不同,對(duì)應(yīng)可分為一對(duì)一,多對(duì)一,一對(duì)多和多對(duì)多. 其中只有一對(duì)一和多對(duì)一的能構(gòu)成映射,由此可以看到映射必是“對(duì)B中之唯一”,而只要是對(duì)應(yīng)就必須保證讓A中之任一與B中元素相對(duì)應(yīng),所以滿足一對(duì)一和多對(duì)一的對(duì)應(yīng)就能體現(xiàn)出“任一對(duì)唯一”.

 、诙灰挥成溆衷谟成涞幕A(chǔ)上增加新的要求,決定了它在學(xué)習(xí)中是比較困難的.

  教法建議

 。1)在映射概念引入時(shí),可先從學(xué)生熟悉的對(duì)應(yīng)入手, 選擇一些具體的生活例子,然后再舉一些數(shù)學(xué)例子,分為一對(duì)多、多對(duì)一、多對(duì)一、一對(duì)一四種情況,讓學(xué)生認(rèn)真觀察,比較,再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中一對(duì)一和多對(duì)一的對(duì)應(yīng)是映射,逐步歸納概括出映射的基本特征,讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí).

 。2)在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)映射時(shí),為了能讓學(xué)生看清映射的構(gòu)成,可以選擇用圖形表示映射,在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集,法則盡量用語(yǔ)言描述,這樣的表示方法讓學(xué)生可以比較直觀的認(rèn)識(shí)映射,而后再選擇用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)表示映射,比如:

 。3)對(duì)于學(xué)生層次較高的學(xué)?梢栽诮o出定義后讓學(xué)生根據(jù)自己的'理解舉出映射的例子,教師也給出一些映射的例子,讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn),并用自己的語(yǔ)言描述出來(lái),最后教師加以概括,再?gòu)闹幸鲆灰挥成涓拍;?duì)于學(xué)生層次較低的學(xué)校,則可以由教師給出一些例子讓學(xué)生觀察,教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn),一起概括.最后再讓學(xué)生舉例,并逐步增加要求向一一映射靠攏,引出一一映射概念.

 。4)關(guān)于求象和原象的問(wèn)題,應(yīng)在計(jì)算的過(guò)程中總結(jié)方法,特別是求原象的方法是解方程或方程組,還可以通過(guò)方程組解的不同情況(有唯一解,無(wú)解或有無(wú)數(shù)解)加深對(duì)映射的認(rèn)識(shí).

 。5)在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā),討論的形式,讓學(xué)生在實(shí)例中去觀察,比較,啟發(fā)學(xué)生尋找共性,共同討論映射的特點(diǎn),共同舉例,計(jì)算,最后進(jìn)行小結(jié),教師要起到點(diǎn)撥和深化的作用.

  教學(xué)設(shè)計(jì)方案

  2.1映射

  教學(xué)目標(biāo)(1)了解映射的概念,象與原象及一一映射的概念.

  (2)在概念形成過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的觀察,分析對(duì)比,歸納的能力.

  (3)通過(guò)映射概念的學(xué)習(xí),逐步提高學(xué)生的探究能力.

  教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)::映射概念的形成與認(rèn)識(shí).

  教學(xué)用具:實(shí)物投影儀

  教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)討論式

  教學(xué)過(guò)程:

  一、引入

  在初中,我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡(jiǎn)單的常見(jiàn)函數(shù).在高中,將利用前面集合有關(guān)知識(shí),利用映射的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義.那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細(xì)的概念.

  二、新課

  在前一章集合的初步知識(shí)中,我們學(xué)習(xí)了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系,而映射是重點(diǎn)研究?jī)蓚(gè)集合的元素與元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這要先從我們熟悉的對(duì)應(yīng)說(shuō)起(用投影儀打出一些對(duì)應(yīng)關(guān)系,共6個(gè))

  我們今天要研究的是一類特殊的對(duì)應(yīng),特殊在什么地方呢?

  提問(wèn)1:在這些對(duì)應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對(duì)應(yīng)B中唯一一個(gè)元素?

  讓學(xué)生仔細(xì)觀察后由學(xué)生回答,對(duì)有爭(zhēng)議的,或漏選,多選的可詳細(xì)說(shuō)明理由進(jìn)行討論.最后得出(1),(2),(5),(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個(gè)集中在一起)

  提問(wèn)2:能用自己的語(yǔ)言描述一下這幾個(gè)對(duì)應(yīng)的共性嗎?

  經(jīng)過(guò)師生共同推敲,將映射的定義引出.(主體內(nèi)容由學(xué)生完成,教師做必要的補(bǔ)充)

高中數(shù)學(xué)教案13

  教學(xué)目標(biāo):

  (1)了解坐標(biāo)法和解析幾何的意義,了解解析幾何的基本問(wèn)題.

  (2)進(jìn)一步理解曲線的方程和方程的曲線.

  (3)初步掌握求曲線方程的方法.

  (4)通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化的能力.

  教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):求曲線的方程.

  教學(xué)用具:計(jì)算機(jī).

  教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)法,討論法.

  教學(xué)過(guò)程:

  【引入】

  1.提問(wèn):什么是曲線的方程和方程的曲線.

  學(xué)生思考并回答.教師強(qiáng)調(diào).

  2.坐標(biāo)法和解析幾何的意義、基本問(wèn)題.

  對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題,在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,用坐標(biāo)表示點(diǎn);用方程表示曲線,通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì),這一研究幾何問(wèn)題的方法稱為坐標(biāo)法,這門科學(xué)稱為解析幾何.解析幾何的兩大基本問(wèn)題就是:

  (1)根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程.

  (2)通過(guò)方程,研究平面曲線的性質(zhì).

  事實(shí)上,在前邊所學(xué)的直線方程的理論中也有這樣兩個(gè)基本問(wèn)題.而且要先研究如何求出曲線方程,再研究如何用方程研究曲線.本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法.

  【問(wèn)題】

  如何根據(jù)已知條件,求出曲線的方程.

  【實(shí)例分析】

  例1:設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)是、(3,7),求線段的垂直平分線的方程.

  首先由學(xué)生分析:根據(jù)直線方程的知識(shí),運(yùn)用點(diǎn)斜式即可解決.

  解法一:易求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),

  由斜率關(guān)系可求得l的斜率為

  于是有

  即l的方程為

  ①

  分析、引導(dǎo):上述問(wèn)題是我們?cè)缇蛯W(xué)過(guò)的,用點(diǎn)斜式就可解決.可是,你們是否想過(guò)①恰好就是所求的嗎?或者說(shuō)①就是直線的方程?根據(jù)是什么,有證明嗎?

  (通過(guò)教師引導(dǎo),是學(xué)生意識(shí)到這是以前沒(méi)有解決的問(wèn)題,應(yīng)該證明,證明的依據(jù)就是定義中的兩條).

  證明:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.

  設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn),則

  即

  將上式兩邊平方,整理得

  這說(shuō)明點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.

  (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

  設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的任意一解,則

  到、的距離分別為

  所以,即點(diǎn)在直線上.

  綜合(1)、(2),①是所求直線的方程.

  至此,證明完畢.回顧上述內(nèi)容我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象:在證明(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解中,設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn),最后得到式子,如果去掉腳標(biāo),這不就是所求方程嗎?可見(jiàn),這個(gè)證明過(guò)程就表明一種求解過(guò)程,下面試試看:

  解法二:設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)屬于集合

  由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)所適合的條件可表示為

  將上式兩邊平方,整理得

  果然成功,當(dāng)然也不要忘了證明,即驗(yàn)證兩條是否都滿足.顯然,求解過(guò)程就說(shuō)明第一條是正確的(從這一點(diǎn)看,解法二也比解法一優(yōu)越一些);至于第二條上邊已證.

  這樣我們就有兩種求解方程的方法,而且解法二不借助直線方程的理論,又非常自然,還體現(xiàn)了曲線方程定義中點(diǎn)集與對(duì)應(yīng)的思想.因此是個(gè)好方法.

  讓我們用這個(gè)方法試解如下問(wèn)題:

  例2:點(diǎn)與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程.

  分析:這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題,連坐標(biāo)系都沒(méi)有.所以首先要建立坐標(biāo)系,顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系.然后仿照例1中的解法進(jìn)行求解.

  求解過(guò)程略.

  【概括總結(jié)】通過(guò)學(xué)生討論,師生共同總結(jié):

  分析上面兩個(gè)例題的求解過(guò)程,我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟:

  首先應(yīng)有坐標(biāo)系;其次設(shè)曲線上任意一點(diǎn);然后寫出表示曲線的點(diǎn)集;再代入坐標(biāo);最后整理出方程,并證明或修正.說(shuō)得更準(zhǔn)確一點(diǎn)就是:

  (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo);

  (2)寫出適合條件的點(diǎn)的集合

  ;

  (3)用坐標(biāo)表示條件,列出方程;

  (4)化方程為最簡(jiǎn)形式;

  (5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

  一般情況下,求解過(guò)程已表明曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解;如果求解過(guò)程中的`轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的,那么逆推回去就說(shuō)明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).所以,通常情況下證明可省略,不過(guò)特殊情況要說(shuō)明.

  上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為:建系設(shè)點(diǎn);寫出集合;列方程;化簡(jiǎn);修正.

  下面再看一個(gè)問(wèn)題:

  例3:已知一條曲線在軸的上方,它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程.

  【動(dòng)畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過(guò)程和形狀,在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中尋找關(guān)系.

  解:設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),軸,垂足是(如圖2),那么點(diǎn)屬于集合

  由距離公式,點(diǎn)適合的條件可表示為

 、

  將①式移項(xiàng)后再兩邊平方,得

  化簡(jiǎn)得

  由題意,曲線在軸的上方,所以,雖然原點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0)是這個(gè)方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應(yīng)為,它是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點(diǎn),如圖2中所示.

  【練習(xí)鞏固】

  題目:在正三角形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn),已知到三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為、 、,且有,求點(diǎn)軌跡方程.

  分析、略解:首先應(yīng)建立坐標(biāo)系,以正三角形一邊所在的直線為一個(gè)坐標(biāo)軸,這條邊的垂直平分線為另一個(gè)軸,建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單,如圖3所示.設(shè)、的坐標(biāo)為、,則的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為.

  根據(jù)條件,代入坐標(biāo)可得

  化簡(jiǎn)得

 、

  由于題目中要求點(diǎn)在三角形內(nèi),所以,在結(jié)合①式可進(jìn)一步求出、的范圍,最后曲線方程可表示為

  【小結(jié)】師生共同總結(jié):

  (1)解析幾何研究研究問(wèn)題的方法是什么?

  (2)如何求曲線的方程?

  (3)請(qǐng)對(duì)求解曲線方程的五個(gè)步驟進(jìn)行評(píng)價(jià).各步驟的作用,哪步重要,哪步應(yīng)注意什么?

  【作業(yè)】課本第72頁(yè)練習(xí)1,2,3;

高中數(shù)學(xué)教案14

  教學(xué)準(zhǔn)備

  1.教學(xué)目標(biāo)

  1、知識(shí)與技能:

  函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依

  賴關(guān)系,同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù),高中階段更注重函數(shù)模型化的思想與意識(shí).

  2、過(guò)程與方法:

 。1)通過(guò)實(shí)例,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù),體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;

  (2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素;

  (3)會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;

 。4)能夠正確使用“區(qū)間”的符號(hào)表示函數(shù)的定義域;

  3、情感態(tài)度與價(jià)值觀,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性.

  教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

  重點(diǎn):理解函數(shù)的模型化思想,用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù);

  難點(diǎn):符號(hào)“y=f(x)”的含義,函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示;

  教學(xué)用具

  多媒體

  4.標(biāo)簽

  函數(shù)及其表示

  教學(xué)過(guò)程

 。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  1、復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念,強(qiáng)調(diào)函數(shù)的模型化思想;

  2、閱讀課本引例,體會(huì)函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想:

 。1)炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題;

 。2)南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題;

 。3)“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題.

  3、分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例,它們有什么共同點(diǎn);

  4、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述各個(gè)實(shí)例中兩個(gè)變量間的依賴關(guān)系;

  5、根據(jù)初中所學(xué)函數(shù)的概念,判斷各個(gè)實(shí)例中的兩個(gè)變量間的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系.

 。ǘ┭刑叫轮

  1、函數(shù)的有關(guān)概念

 。1)函數(shù)的概念:

  設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(function).

  記作:y=f(x),x∈A.

  其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain);與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域(range).

  注意:

 、佟皔=f(x)”是函數(shù)符號(hào),可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

  ②函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,一個(gè)數(shù),而不是f乘x.

 。2)構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么?

  定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

 。3)區(qū)間的概念

 、賲^(qū)間的分類:開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間;

 、跓o(wú)窮區(qū)間;

 、蹍^(qū)間的數(shù)軸表示.

  (4)初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)?它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則分別是什么?

  通過(guò)三個(gè)已知的函數(shù):y=ax+b(a≠0)

  y=ax2+bx+c(a≠0)

  y=(k≠0)比較描述性定義和集合,與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫的定義,談?wù)勼w會(huì).

  師:歸納總結(jié)

 。ㄈ┵|(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維。

  1、如何求函數(shù)的定義域

  例1:已知函數(shù)f(x)=+

 。1)求函數(shù)的定義域;

 。2)求f(-3),f()的值;

 。3)當(dāng)a>0時(shí),求f(a),f(a-1)的`值.

  分析:函數(shù)的定義域通常由問(wèn)題的實(shí)際背景確定,如前所述的三個(gè)實(shí)例.如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒(méi)有指明它的定義域,那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合,函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

  例2、設(shè)一個(gè)矩形周長(zhǎng)為80,其中一邊長(zhǎng)為x,求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式,并寫出定義域.

  分析:由題意知,另一邊長(zhǎng)為x,且邊長(zhǎng)x為正數(shù),所以0<x<40.

  所以s==(40-x)x(0<x<40)

  引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)幾類函數(shù)的定義域:

  (1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.

  2)如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.

 。3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合.

 。4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.(即求各集合的交集)

 。5)滿足實(shí)際問(wèn)題有意義.

  鞏固練習(xí):課本P19第1

  2、如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)

  例3、下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x相等?

  分析:

  1構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))

  2兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。

  解:

  課本P18例2

  (四)歸納小結(jié)

 、?gòu)木唧w實(shí)例引入了函數(shù)的概念,用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言描述了函數(shù)的定義及其相關(guān)概念;②初步介紹了求函數(shù)定義域和判斷同一函數(shù)的基本方法,同時(shí)引出了區(qū)間的概念.

 。ㄎ澹┰O(shè)置問(wèn)題,留下懸念

  1、課本P24習(xí)題1.2(A組)第1—7題(B組)第1題

  2、舉出生活中函數(shù)的例子(三個(gè)以上),并用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù),同時(shí)說(shuō)出函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

  課堂小結(jié)

高中數(shù)學(xué)教案15

  教學(xué)目標(biāo):

  1。通過(guò)生活中優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)習(xí),體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用,促進(jìn)

  學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。

  2。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的研究,促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及數(shù)學(xué)建模能力的提高。

  教學(xué)重點(diǎn):

  如何建立實(shí)際問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

  教學(xué)過(guò)程:

  一、問(wèn)題情境

  問(wèn)題1把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形,長(zhǎng)寬各為多少時(shí)面積最大?

  問(wèn)題2把長(zhǎng)為100cm的鐵絲分成兩段,各圍成正方形,怎樣分法,能使兩個(gè)正方形面積之各最。

  問(wèn)題3做一個(gè)容積為256L的方底無(wú)蓋水箱,它的高為多少時(shí)材料最?

  二、新課引入

  導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法,可以求出實(shí)際生活中的某些最值問(wèn)題。

  1。幾何方面的應(yīng)用(面積和體積等的最值)。

  2。物理方面的應(yīng)用(功和功率等最值)。

  3。經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用(利潤(rùn)方面最值)。

  三、知識(shí)建構(gòu)

  例1在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無(wú)蓋的`方底箱子,箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí),箱底的容積最大?最大容積是多少?

  說(shuō)明1解應(yīng)用題一般有四個(gè)要點(diǎn)步驟:設(shè)——列——解——答。

  說(shuō)明2用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值,與求函數(shù)極值方法類似,加一步與幾個(gè)極

  值及端點(diǎn)值比較即可。

  例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取,才

  能使所用的材料最?

  變式當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí),它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用材料最省?

  說(shuō)明1這種在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極值的函數(shù)稱單峰函數(shù)。

  說(shuō)明2用導(dǎo)數(shù)法求單峰函數(shù)最值,可以對(duì)一般的求法加以簡(jiǎn)化,其步驟為:

  S1列:列出函數(shù)關(guān)系式。

  S2求:求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

  S3述:說(shuō)明函數(shù)在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大(。┲,從而斷定為函數(shù)的最大(。┲,必要時(shí)作答。

  例3在如圖所示的電路中,已知電源的內(nèi)阻為,電動(dòng)勢(shì)為。外電阻為

  多大時(shí),才能使電功率最大?最大電功率是多少?

  說(shuō)明求最值要注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,也就是說(shuō)取得這樣的值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量必須有解。

  例4強(qiáng)度分別為a,b的兩個(gè)光源A,B,它們間的距離為d,試問(wèn):在連接這兩個(gè)光源的線段AB上,何處照度最。吭嚲蚢=8,b=1,d=3時(shí)回答上述問(wèn)題(照度與光的強(qiáng)度成正比,與光源的距離的平方成反比)。

  例5在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù),記為;出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù),記為;稱為利潤(rùn)函數(shù),記為。

 。1)設(shè),生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí),邊際成本最低?

 。2)設(shè),產(chǎn)品的單價(jià),怎樣的定價(jià)可使利潤(rùn)最大?

  四、課堂練習(xí)

  1。將正數(shù)a分成兩部分,使其立方和為最小,這兩部分應(yīng)分成____和___。

  2。在半徑為R的圓內(nèi),作內(nèi)接等腰三角形,當(dāng)?shù)走吷细邽? 時(shí),它的面積最大。

  3。有一邊長(zhǎng)分別為8與5的長(zhǎng)方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋小盒,要使紙盒的容積最大,問(wèn)剪去的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少?

  4。一條水渠,斷面為等腰梯形,如圖所示,在確定斷面尺寸時(shí),希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí),使得濕周l=AB+BC+CD最小,這樣可使水流阻力小,滲透少,求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)b。

  五、回顧反思

 。1)解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題,需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系,找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式,并確定函數(shù)的定義區(qū)間;所得結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義。

 。2)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí),如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn),那么這個(gè)極值就是所求最值,不必再與端點(diǎn)值比較。

 。3)相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡(jiǎn)單。

  六、課外作業(yè)

  課本第38頁(yè)第1,2,3,4題。

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