考研數(shù)學(xué)概率與數(shù)理統(tǒng)計指導(dǎo)
考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)一直以來是考生心中的一個沉重的負(fù)擔(dān)，尤其是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差或者沒有基礎(chǔ)的考生，復(fù)習(xí)起來難度就更大，心理也有很大的壓力。概率作為數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三必考的數(shù)學(xué)科目，對于很多門外漢來說，無疑是一只攔路虎，怎樣快速入門，掌握其中的精華?讓我們來聽聽考研教育網(wǎng)數(shù)學(xué)專家的講解，讓他帶著大家從淺入深，一步步走向概率的深處!
從隨機(jī)現(xiàn)象說起在自然界和現(xiàn)實生活中，一些事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，必定會導(dǎo)致某種確定的結(jié)果。舉例來說，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100攝氏度，就必然會沸騰。事物間的這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專門研究和認(rèn)識這種必然性的，尋求這類必然現(xiàn)象的因果關(guān)系，把握它們之間的數(shù)量規(guī)律。
另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，它的結(jié)果是不確定的。舉例來說，同一個工人在同一臺機(jī)床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異。又如，在同樣條件下，進(jìn)行小麥品種的人工催芽試驗，各棵種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強(qiáng)弱和早晚的分別等等。為什么在相同的情況下，會出現(xiàn)這種不確定的結(jié)果呢?這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現(xiàn)象中，就無法用必然性的因果關(guān)系，對個別現(xiàn)象的結(jié)果事先做出確定的答案。事物間的這種關(guān)系是屬于偶然性的，這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機(jī)現(xiàn)象。
在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機(jī)現(xiàn)象十分普遍，也就是說隨機(jī)現(xiàn)象是大量存在的。比如：每期體育彩票的中獎號碼、同一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的燈泡的壽命等，都是隨機(jī)現(xiàn)象。因此，我經(jīng)常對考研教育網(wǎng)的學(xué)員說：隨機(jī)現(xiàn)象就是：在同樣條件下，多次進(jìn)行同一試驗或調(diào)查同一現(xiàn)象，所的結(jié)果不完全一樣，而且無法準(zhǔn)確地預(yù)測下一次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性，是由于一些次要的、偶然的因素影響所造成的。
隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看，似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實踐證明，如果同類的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性，隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣，每一次投擲很難判斷是那一面朝上，但是如果多次重復(fù)的擲這枚硬幣，就會越來越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。
我們把這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計就是研究大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。
一、概率論
概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī)事件的概率、統(tǒng)計獨立性和更深層次上的規(guī)律性。
概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。在獨立隨機(jī)事件中，如果某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯的穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。就可以認(rèn)為這個事件發(fā)生的概率為這個常數(shù)。對于任何事件的概率值一定介于0和1之間。
有一類隨機(jī)事件，它具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結(jié)果;第二，各個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個特點的隨機(jī)現(xiàn)象叫做“古典概型”。
在客觀世界中，存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件。如果用變量來描述隨機(jī)現(xiàn)象的各個結(jié)果，就叫做隨機(jī)變量。
隨機(jī)變量有有限和無限的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量;如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量。
在離散型隨機(jī)變量的概率分布中，比較簡單而應(yīng)用廣泛的是二項式分布。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的，都有一個分布曲線，實踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個隨機(jī)變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差。
二、數(shù)理統(tǒng)計
數(shù)理統(tǒng)計包括抽樣、適線問題、假設(shè)檢驗、方差分析、相關(guān)分析等內(nèi)容。抽樣檢驗是要通過對子樣的調(diào)查，來推斷總體的情況。究竟抽樣多少，這是十分重要的問題，因此，在抽樣檢查中就產(chǎn)生了“小樣理論”，這是在子樣很小的情況下，進(jìn)行分析判斷的理論。
適線問題也叫曲線擬和。有些問題需要根據(jù)積累的經(jīng)驗數(shù)據(jù)來求出理論分布曲線，從而使整個問題得到了解。我上課的時候經(jīng)常問考研教育網(wǎng)的學(xué)員，根據(jù)什么原則求理論曲線?如何比較同一問題中求出的幾種不同曲線?選配好曲線，有如何判斷它們的誤差?……這就屬于數(shù)理統(tǒng)計中的適線問題的討論范圍。
假設(shè)檢驗是只在用數(shù)理統(tǒng)計方法檢驗產(chǎn)品的時候，先作出假設(shè)，在根據(jù)抽樣的結(jié)果在一定可靠程度上對原假設(shè)做出判斷。
方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗就可以做出的判斷。
由于隨機(jī)現(xiàn)象在人類的實際活動中大量存在，概率統(tǒng)計隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機(jī)過程、信息論、極限理論、試驗設(shè)計、多元分析等。
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