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2015考研數(shù)學(xué) 方程跟的個(gè)數(shù)問題(一)
縱觀考研數(shù)學(xué)多年來的考試大綱和考試真題試卷，總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識(shí)點(diǎn)基本相同或相近，考試題型的變化幅度也不是很大，其中有一些重要題型是年年考或經(jīng)�？迹绻忌芡耆莆者@些重要題型的解題思路和方法，并能熟練地解答這些題型，則對(duì)于順利地通過考研數(shù)學(xué)考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學(xué)會(huì)并提高解答數(shù)學(xué)重要題型的水平，考研輔導(dǎo)老師針對(duì)歷年考研數(shù)學(xué)中的重要題型進(jìn)行深入解剖，分析提煉出各種�？贾匾}型及方法，供考生們參考。下面主要分析高等數(shù)學(xué)中關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問題這類重要題型及解題方法。
題型：方程根的個(gè)數(shù)問題(一)
方程 =0的根，也就是函數(shù) 的零點(diǎn)，有關(guān)方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關(guān)理論加以分析和解決。
主要的分析解決工具包括：
1)函數(shù)零點(diǎn)定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ，則至少存在一點(diǎn) ，使 ( 稱為函數(shù)的零點(diǎn))。
2)函數(shù)單調(diào)性：若函數(shù) 在 上連續(xù)且單調(diào)(單調(diào)增加或單調(diào)減少)，則：1)當(dāng) 時(shí)， 在 上有唯一零點(diǎn);2)當(dāng) 時(shí)， 在 上沒有零點(diǎn)。
3)羅爾中值定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，在 上可導(dǎo)，且 ，則至少存在一點(diǎn) ，使 。
一般求解步驟：
1)先看有無明顯的實(shí)根;
2)引入相應(yīng)函數(shù)，寫出定義域，判斷端點(diǎn)函數(shù)值和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù);
3)求導(dǎo)數(shù)，找出駐點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，討論在各單調(diào)區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)。
典型例題
例1.求方程 不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中k為參數(shù) (2011年考研數(shù)學(xué)一第17題)
解析：顯然 =0是一個(gè)實(shí)根。令 ，則 ， ， ， ;若 ， 單調(diào)減少， 只有唯一零點(diǎn)，即原方程只有唯一實(shí)根x=0;
1)若 ， 在 上都是單調(diào)減少，且 ，故 只有唯一零點(diǎn)，原方程只有唯一實(shí)根x=0;
2)若 ，當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)增加，而 ，所以 ;當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)減少;由此得： 在區(qū)間 上各有一個(gè)零點(diǎn)，即原方程在這3個(gè)區(qū)間上各有一個(gè)實(shí)根。
綜上得：當(dāng) 時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根;當(dāng) 時(shí)，方程有3個(gè)不同實(shí)根。
例2.設(shè)有方程 ，其中 為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實(shí)根 ，并證明當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂 (2004年考研數(shù)學(xué)一第18題)
解析：設(shè) ，則 ，由零點(diǎn)定理知 在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)。而 ，故 在(0，+∞)上單調(diào)增加，因此， 在(0，+∞)上只存在唯一一個(gè)零點(diǎn) ，且0< <1，由 ，得 ，當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知， 收斂。
注：n次方程有n個(gè)根，因此方程 的負(fù)實(shí)根可能有很多個(gè)(可能還有復(fù)數(shù)根)。
上面就是考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)中的方程根的個(gè)數(shù)問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時(shí)間里，老師們還會(huì)陸續(xù)向考生們介紹其它�？贾匾}型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位考生在2015考研中取得佳績(jī)。
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