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數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用論文

時(shí)間:2023-05-02 22:26:15 論文范文 我要投稿
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數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用論文

  《新課標(biāo)》明確規(guī)定“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要指代數(shù)、幾何中的概念、法則性質(zhì)、公理、定理以及由此內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”?梢钥闯,把數(shù)學(xué)思想作為基礎(chǔ)知識(shí)的范疇是過去大綱所沒有的,它既是我國數(shù)學(xué)教育多年研究的成果,也充分反映了數(shù)學(xué)思想的重要性。數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)科學(xué)的核心,而數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容及其所使用方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí),在培養(yǎng)能力方面起著不可替代的作用,可以說是提高學(xué)生思維品質(zhì)和能力最重要的途徑。若學(xué)生在學(xué)習(xí)中能將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形符號(hào)結(jié)合起來,把抽象思維與形象思維結(jié)合起來,能用代數(shù)的方法去研究幾何問題,會(huì)根據(jù)圖形的性質(zhì)及幾何知識(shí)去處理代數(shù)問題,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法,對(duì)解決數(shù)學(xué)問題有很重要的作用。

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用論文

  1 對(duì)“數(shù)形結(jié)合”概念的理解

  初中北師大版教材中數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容,不完全統(tǒng)計(jì)達(dá)到214處,可以看出數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)的地位,對(duì)于學(xué)生來說,到高中將是不自覺的應(yīng)用過程,數(shù)學(xué)中大量數(shù)的問題后面隱含著形的信息,圖形的特征也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系,我們將抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過形的形象直接揭示出來,以達(dá)到“形幫數(shù)”的目的,同時(shí)我們又要運(yùn)用數(shù)的規(guī)律,數(shù)值的計(jì)算來尋找處理性的方法,達(dá)到“數(shù)促形”的目的。

  在數(shù)學(xué)思維過程中,邏輯思維是核心,形象思維是先導(dǎo),但具體的數(shù)學(xué)思維過程往往是兩者交叉運(yùn)用,濃縮升華的過程。這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中重視數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想滲透的目的,讓學(xué)生邏輯思維和形象都得到提高。

  2 利用“形解數(shù)”的數(shù)形結(jié)合

  2.1 數(shù)形結(jié)合在解不等式中的應(yīng)用。在七年級(jí)教材(北師大版)第二章講有理數(shù)及其運(yùn)算時(shí),引入數(shù)軸,這是點(diǎn)和數(shù)的一種對(duì)應(yīng),就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn),“數(shù)軸上的點(diǎn)”和“點(diǎn)所表示的數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,前者是圖,后者是數(shù),不等式解集可在數(shù)軸上表示出來,用數(shù)形結(jié)合比較形象直觀,尤其是在解不等式組時(shí),可將幾個(gè)不等式解集表示在同一數(shù)軸上,這樣就容易求出解集的公共部分,即不等式組的解集,舉例如下:

  例1:解不等式組

  解:由(1)得x>1/3,解(2)得x<6,在同一數(shù)軸上表示(1)、(2)的解集           ∴原不等式組的解集為:1/3<x<6

  2.2 數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用。二元一次方程圖像解中也滲透了有關(guān)數(shù)形結(jié)合的思想,利用它可以使我們解題時(shí)直觀明了。

  例2:解方程組x-y=5 (1)y=3-x (2)

  分析與解:由(1)得y=x-5在同一坐標(biāo)系中作直線y1=x-5及直線y2=3-x的圖像,有圖像很直觀,可得直線y1與直線y2交點(diǎn)P(4,-1)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為x、y的值,所以方程的解為x=4y=-1,當(dāng)然這種做法的準(zhǔn)確性依賴于作圖的準(zhǔn)確性,一般情況不太用。一元二次方程中有關(guān)根的問題同樣與圖像有密切關(guān)系。

  例3:如果方程x2+2ax+a2-a+5=0兩實(shí)根的大小在方程x2+2ax+a2+a-7=0兩實(shí)根之間,試求a的取值范圍。

  分析:如果聯(lián)想到一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系,有函數(shù)y1=x2+2ax+a2-a+5與y2=x2+2ax+a2+a-7的圖像開口向上,且形狀相同,又有公共對(duì)稱軸的兩條拋物線。做草圖如下:

  這樣把問題歸結(jié)為兩條拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)間關(guān)系問題,圖像已清楚反映出來。同時(shí)要考慮頂點(diǎn)與x軸的位置關(guān)系,滿足題設(shè)條件是拋物線y1的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不小于等于零且大于拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)。即-a+5≤0-a+5>a-7解得5a<6

  3 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問題中的應(yīng)用

  函數(shù)與平面圖形的對(duì)應(yīng),建立一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中k、b的值與圖像的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系,即k>0、b>0或k>0、b<0或k<0、b>0或k<0、b<0分別與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),a、b、c與圖像的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系,即a、b、c的正負(fù)分別與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系,都是數(shù)形結(jié)合的具體化。 例4:已知拋物線y=12x2+px+q(p≠0)與直線y=x交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C且OA=OB,BC//x軸,求p、q的值。

  分析:我們可依已知條件作草圖,由直線的解析式y(tǒng)=x得出A、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等,由此可以先設(shè):點(diǎn)A坐標(biāo)(t、t),點(diǎn)A與點(diǎn)B是否在一個(gè)象限呢?它們之間又有什么關(guān)系呢?再看條件“OA=OB”說明是兩條線段的長度相等。但我們結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化成幾何語言,就是“點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”,那么剛才的一個(gè)小問題解決了,可以得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-t、-t),但現(xiàn)在C點(diǎn)坐標(biāo)還沒有用t表示出來,能否找到相互的關(guān)系,“BC//x軸”迫使我們?nèi)ソY(jié)合圖形來觀察“B點(diǎn)、C點(diǎn)縱坐標(biāo)相等”,那么點(diǎn)C坐標(biāo)為(0、-t),有了A點(diǎn)、B點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo),必然可以求出p、q的值。

  已知條件盡管較多,卻無從下手,這就迫使我們?nèi)ビ^察所作的圖形,可圖形中又只有拋物線、直線一些線段等,令人感到山窮水盡,現(xiàn)在如果我們把已知條件和圖形結(jié)合起來挖掘了一些隱藏在已知條件背后的圖形特征,必然是柳暗花明又一村。

  4 利用“數(shù)解形”的數(shù)形結(jié)合

  數(shù)形結(jié)合中的數(shù),除了指實(shí)數(shù)外,還泛指代數(shù)式、等式、不等式、方程、函數(shù)及運(yùn)算等,借助運(yùn)算也可把復(fù)雜幾何問題代數(shù)化,輕易解決它。

  例5:如過等腰三角形一個(gè)頂點(diǎn)做一條直線,將它分成兩個(gè)小的等腰三角形,求這個(gè)等腰三角形的各內(nèi)角。

  分析:在這里沒有明確這個(gè)等腰三角形是銳角、鈍角還是直角,所以我們要把各種情況都考慮進(jìn)去,這樣又用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想,但每一步總是以圖形為依托用代數(shù)求解幾何問題。

  如圖(1)分別為90°、45°、45°

  如圖(2)AB=BD、AD=CD,設(shè)∠A=a、∠B=∠C=β∴∠BDA=2β∴a+2β=180°∴a=180°、β=36°

  如圖(3)AD=CD=BC、∠A=a、∠B=∠C=β、a+2β=180°、2a=β∴a=36°、β=72°

  例6:如圖,過正方形ABCD的頂點(diǎn)C任做一條直線與AB、AD的延長線分別交于E、F。求證:AE+AF≥4AB

  分析:這是“形”的問題,但要直接從形入手較難,引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論變?yōu)椋海ˋE+AF)2-4AB(AE+AF)≥0從形式上看,聯(lián)想一元二次方程的判別式,從而把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題來解決就容易了。

  證明:設(shè)AB=a,AE=m,AF=n,連接AC

  則S△AEF=S△AFC+S△AEC即1/2mn=1/2am+1/2an∴mn=a(m+n),設(shè)m+n=p則mn=ap這時(shí)又可以聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,可以把m、n看作是方程x2-px+ap=0的兩根,而m、n為兩線斷的長,應(yīng)為實(shí)數(shù),故此一元二次方程有實(shí)數(shù)根。即△=p2-4ap≥0,又∵p>0(m、n為線段長度)∴p>4a∴m+n>4a即AE+AF≥4AB。這道題完全體現(xiàn)了“數(shù)幫形”的作用,給學(xué)生有耳目一新的作用。

  總之,揭示問題的本質(zhì),用“數(shù)”準(zhǔn)確澄清“形”的模糊,用“形”直觀啟迪“數(shù)”的運(yùn)算,解題過程使形和數(shù)各展其長,相輔相成,達(dá)到完美的統(tǒng)一。

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