舉例說(shuō)明算理和算法

舉例說(shuō)明算理和算法

小數(shù)乘小數(shù)運(yùn)算的算理究竟是什么？算理與算法的關(guān)系是什么？

（1）小數(shù)乘小數(shù)運(yùn)算的算理究竟是什么？算理與算法的關(guān)系是什么？算理是計(jì)算的理論依據(jù)，是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)。

算理是計(jì)算的理論依據(jù)，是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)。而算法是實(shí)施四則計(jì)算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的人為規(guī)定。新課程標(biāo)準(zhǔn)把義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)明確劃分成了知識(shí)技能目標(biāo)和過(guò)程性目標(biāo)兩大類(lèi)，其實(shí)知識(shí)技能與過(guò)程性目標(biāo)作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的兩個(gè)組成部分并無(wú)主次之分，它們是一個(gè)互相影響、相輔相成的有機(jī)體，因此，在計(jì)算教學(xué)中理解算理固然重要，掌握算法同樣不容忽視。

（2）教師在使學(xué)生理解算理上有哪些好的經(jīng)驗(yàn)和做法，舉例說(shuō)明。

教學(xué)片段： 已知36×28=1008 36×280= 36×2.8= 36×0.28= 3.6×2.8= 師：先觀察，再說(shuō)說(shuō)自己體會(huì)。 生1：一個(gè)因數(shù)不變另，另一個(gè)擴(kuò)大10 倍，積也擴(kuò)大了10 倍。 生2：36×2.8 28 縮小10 倍，是2.8，積是1 位小數(shù).。師：那么積的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該點(diǎn)在哪里呢？ 生3：點(diǎn)在0 和8 之間。 師：怎么想的？ 生4：一個(gè)因數(shù)縮小10 倍，另一個(gè)因數(shù)不變，積也縮小10 倍，所以點(diǎn)在0 和8 之間。 生5；因數(shù)中是一位小數(shù)，所以積也是一位小數(shù)。師：那么3.6×2.8 呢？積大概是幾位小數(shù)？ 生6:一個(gè)因數(shù)是一位小數(shù)，另一位因數(shù)也是一位小數(shù)，所以，積是兩位小數(shù)。 師:猜一猜，積是多少,小數(shù)點(diǎn)又應(yīng)該點(diǎn)在哪里呢？ 生7：10.08。師：用計(jì)數(shù)器驗(yàn)證一下. 學(xué)生用計(jì)數(shù)器驗(yàn)證。 師：能用豎式計(jì)算么？（由學(xué)生自己完成） 讓學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式，自主找出解決問(wèn)題的辦法，讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)的快樂(lè)。分析與反思： 這節(jié)課的內(nèi)容對(duì)五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)有點(diǎn)難度，它主要是考察學(xué)生的運(yùn)算能力和細(xì)心程度。在上完這節(jié)課后，我進(jìn)行了認(rèn)真的反思，給我的啟發(fā)： 1、突出了積變化的規(guī)律 我認(rèn)為書(shū)上的例3、例4、例5 這3 道例題可以統(tǒng)一到一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)教學(xué)。在教學(xué)時(shí)，教師要先讓學(xué)生回顧整數(shù)乘整數(shù)的方法，然后在此基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到小數(shù)乘小數(shù)，把小數(shù)也看成是整數(shù)，這樣每位學(xué)生都會(huì)做整數(shù)乘法，最后，在指導(dǎo)學(xué)生在積上應(yīng)怎樣點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，這是關(guān)鍵，也是教學(xué)難點(diǎn)，要強(qiáng)調(diào)整個(gè)一道乘法算式中共有幾位小數(shù)，在積中就點(diǎn)幾位小數(shù)。其中的道理也要讓學(xué)生明確，把小數(shù)看成整數(shù)，是先擴(kuò)大幾倍，最后也要縮小相同的倍數(shù)，所以要在積中點(diǎn)幾位小數(shù)。但在學(xué)生實(shí)際練習(xí)中，我也發(fā)現(xiàn)了有一小部分學(xué)生小數(shù)點(diǎn)仍點(diǎn)錯(cuò)，究其原因，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生不會(huì)數(shù)小數(shù)點(diǎn)，他們把小數(shù)的乘法與加法混淆在一起，因此，教師要對(duì)這些學(xué)生再?gòu)?fù)習(xí)一下小數(shù)加法的方法。 2、突出口算。 教材中沒(méi)有安排小數(shù)乘整數(shù)的口算，而實(shí)際在口算中由于數(shù)目比較小，計(jì)算結(jié)果可以比較快速的反饋，易于檢驗(yàn)學(xué)生計(jì)算的正確與否，同時(shí)可以幫助學(xué)生理清計(jì)算小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算思路，所以在計(jì)算中應(yīng)該增加小數(shù)乘整數(shù)的口算練習(xí)，讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法，同時(shí)用小數(shù)乘整數(shù)的意義檢驗(yàn)方法的正確性，讓所有的學(xué)生都知道計(jì)算小數(shù)乘整數(shù)可以看成整數(shù)的計(jì)算。 3、突出豎式的書(shū)寫(xiě)格式。 有了前面對(duì)算理的理解，當(dāng)遇到用豎式計(jì)算3.85×59 時(shí)，學(xué)生不再感到困難，但要他們說(shuō)出為什么這么寫(xiě)，部分孩子還是不能理解，所以我抓住小數(shù)點(diǎn)為什么不對(duì)齊了引導(dǎo)學(xué)生思考，我們已經(jīng)將3.85 擴(kuò)大100 倍，計(jì)算的是385 乘59 了，所以根據(jù)整數(shù)乘法的計(jì)算方法計(jì)算，而不是小數(shù)乘法了，最后還得將積縮小100 倍。 在整節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我非常重視在計(jì)算教學(xué)中算理和算法這個(gè)十分重要的課題。通過(guò)實(shí)踐和探索，在計(jì)算教學(xué)中，我們不防嘗試一下這樣的教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境 呈現(xiàn)算法 練習(xí)鞏固 自主解答 明確算理 掌握算法 我們?cè)趶?qiáng)調(diào)算理的同時(shí)，不能忽視計(jì)算方法的指導(dǎo)，只有這樣，，學(xué)生的計(jì)算能力才能得到提高。

（3）有的老師認(rèn)為：“畫(huà)圖的方法很形象，總不能一直畫(huà)下去吧？”，你如何看待這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生的想法體現(xiàn)出這個(gè)片段活動(dòng)有哪些價(jià)值？

  

“畫(huà)圖”是幫助解題的好方法

解題時(shí)，根據(jù)題的內(nèi)容畫(huà)圖，把題的條件、問(wèn)題在圖上標(biāo)明，這樣有助于我們正確審題，理解題意，從而正確解題，提高我們分析和解決問(wèn)題的能力。

結(jié)合不同的內(nèi)容畫(huà)不同的圖。通常通過(guò)平面圖、立體圖、分析圖、線(xiàn)段圖、表格圖和思路圖等，對(duì)題目的條件、問(wèn)題進(jìn)行展示。下面分別舉例說(shuō)明。

一、平面圖

對(duì)于題目中條件比較抽象、不易直接根據(jù)所學(xué)知識(shí)寫(xiě)出答案的問(wèn)題，可以借助畫(huà)平面圖幫助思考解題。

如，有兩個(gè)自然數(shù)A和B，如果把A增加12，B不變，積就增加72；如果A不變，B增加12，積就增加12O，求原來(lái)兩數(shù)的積。

根據(jù)題目的條件比較抽象的特點(diǎn)，不妨借用長(zhǎng)方形圖，把條件轉(zhuǎn)化為因數(shù)與積的關(guān)系。先畫(huà)一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)表示A，寬表示B，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是原來(lái)兩數(shù)的積。如圖（l）所示。

根據(jù)條件把A增加12，則長(zhǎng)延長(zhǎng)12，B不變即寬不變，如圖（2）；同樣A不變即長(zhǎng)不變，B增加12，則寬延長(zhǎng)12，如圖（3）。從圖中不難找出：

原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（A）是120÷12＝10

原長(zhǎng)方形的寬（B）是72÷12＝6

則兩數(shù)的積為1O×6＝6O

借助長(zhǎng)方形圖，弄清了題中的條件，找到了解題的關(guān)鍵。

再如，一個(gè)梯形下底是上底的1.5倍，上底延長(zhǎng)4厘米后，這個(gè)梯形就變成一個(gè)面積為6O平方厘米的平行四邊形。求原來(lái)梯形面積是多少平方厘米？

根據(jù)題意畫(huà)平面圖：

從圖中可以看出：上、下底的差是4厘米，而這4厘米對(duì)應(yīng)的正好是1.5－l＝O.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底

是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），則原梯形的面積是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。

二、立體圖

一些求積題，結(jié)合題目的內(nèi)容畫(huà)出立體圖，這樣做，使題目的內(nèi)容直觀、形象，有利于思考解題。

如，把一個(gè)正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了8平方米。原來(lái)正方體的表面積是多少平方米？

如果只憑想象，做起來(lái)比較困難。按照題意畫(huà)圖，可以幫助我們思考，找出解決問(wèn)題的方法來(lái)。按題意畫(huà)立體圖：

從圖中不難看出，表面積增加了8平方米，實(shí)際上是增加 2個(gè)正方形的面，每個(gè)面的面積是8÷2＝4（平方米）。原正方體是6個(gè)面，即表面積為4×6＝24（平方米）。

再如，用3個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積是多少？

按題意畫(huà)立體圖來(lái)表示，三個(gè)長(zhǎng)方體拼成的大長(zhǎng)方體有以下三種情況：

（l）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是2×3＝6（厘米），寬3厘米，高1厘米。表面積為（6×3＋6×l＋3×l）×2＝54（平方厘米）。

（2）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3×3＝9（厘米），寬2厘米，高1厘米。表面積為（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。

（3）拼成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3厘米，寬是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面積為（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。

這道題有以上三種答案，通過(guò)畫(huà)圖起到審題和理解題意的作用。

三、分析圖

一些應(yīng)用題，為了能正確審題和分析題目中的數(shù)量關(guān)系，可以把題目中的條件、問(wèn)題的相互關(guān)系用分析圖表示出來(lái)。

如，新華中學(xué)買(mǎi)來(lái) 8張桌子和幾把椅子，共花了 817.6元。每張桌子價(jià) 78.5元，比每把椅子貴 62.7元，買(mǎi)來(lái)椅子多少把？

分析圖：

（l）買(mǎi)椅子共花多少錢(qián)？ 817.6－78.5×8＝189.6元）

（2）每把椅子多少錢(qián)？ 78.5－62.7＝15.8（元）

（3）買(mǎi)來(lái)椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）

綜合算式為：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）

          ＝189.6÷15.8

          ＝12（把）

答：買(mǎi)來(lái)椅子12把。

四、線(xiàn)段圖

一些題目條件多，條件之間關(guān)系復(fù)雜，一時(shí)難以解答�？僧�(huà)線(xiàn)段圖表示，尋求解題的突破口。 

如，光明小學(xué)六年級(jí)畢業(yè)生比全�？�?cè)藬?shù)的還多3O人。新學(xué)期一年級(jí)新生人學(xué)36O人，這樣現(xiàn)在比原全�？�?cè)藬?shù)增加了。求原來(lái)全校學(xué)生有多少人？ 

從圖中可以清楚看出，（360－30）人與全校人數(shù)的（＋）相對(duì)應(yīng)，求全校人數(shù)用除法計(jì)算。列式為：

（360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）。 

再如，甲乙兩人同時(shí)從相距88千米的兩地相向而行，8小時(shí)后在距中點(diǎn)4千米處相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小時(shí)各行多少千米？

按照題意畫(huà)線(xiàn)段圖：

從圖中可以清楚看出，甲、乙8小時(shí)各行的距離，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，這樣就可以求出甲、乙的速度了。

甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）

乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）

五、表格圖

有些問(wèn)題，通過(guò)列表不僅能分清題目的條件和問(wèn)題，而且便于區(qū)分比較，起到良好的審題作用。

如，小明3次搬運(yùn)15塊磚，照這樣計(jì)算，小明又搬了4次，共搬多少塊磚？

根據(jù)條件、問(wèn)題，列出易懂的表格，能清楚看出已知條件和所求問(wèn)題。

3次 15塊 

又搬4次 共搬？塊 

從表中不難看出，又搬4次和共搬多少塊，這兩個(gè)數(shù)量不相對(duì)應(yīng)，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少塊，列式為：

15÷3×（3＋4）＝35（塊）

另一種思路為，先求又搬4次搬的塊數(shù)，再加上原有的塊數(shù)，就是共搬的塊數(shù)。列式為：

15÷3×4＋15＝35（塊）

六、思路圖

有些問(wèn)題因?yàn)榉治龅慕嵌炔煌�，因此解題的思路也不同。通過(guò)畫(huà)圖能清楚看出解題思路，便于分析比較。

如，有一個(gè)伍分幣、4個(gè)貳分幣、8個(gè)壹分幣，要拿出8分錢(qián)，一共有多少種拿法？

這道題從表面港一點(diǎn)也不難，但是要不重復(fù)。不遺漏地把全部拿法一一說(shuō)出來(lái)也不容易，可以用枚舉法把各種情況一一列舉出來(lái)，把思路寫(xiě)出來(lái)。

五分幣（1個(gè)） 1 1 　 　　 　 　 

貳分幣（4個(gè)） 1 　 1 2 3 4 　 

壹分幣（8個(gè)） 1 3 6 4 2 　 8 

拿的方法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 

從圖表中可以清楚著出不同的拿法。此題一共有不重復(fù)的7種拿法。

從以上各例題中可看出：解題時(shí)通過(guò)畫(huà)圖來(lái)幫助理解題意，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。我們不妨在解題中廣泛使用。

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