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簡(jiǎn)析的數(shù)學(xué)向量高考真題（精選3套）
無(wú)論是在學(xué)校還是在社會(huì)中，我們都經(jīng)常看到考試真題的身影，考試真題是命題者根據(jù)測(cè)試目標(biāo)和測(cè)試事項(xiàng)編寫(xiě)出來(lái)的。你知道什么樣的考試真題才是規(guī)范的嗎？以下是小編收集整理的簡(jiǎn)析的數(shù)學(xué)向量高考真題，希望能夠幫助到大家。
簡(jiǎn)析的數(shù)學(xué)向量高考真題 1
考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、垂直或平行
例1 （全國(guó)新課標(biāo)卷）設(shè)[D，E，F(xiàn)]分別為[△ABC]的三邊[BC，CA，AB]的中點(diǎn)，則[EB+FC=]（ ）
A. [BC] B. [12AD]
C. [AD] D. [12BC]
解析 [EB+FC=（EC+CB）+（FB+BC）]
原型 這道題直接考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，解題思路中涉及相反向量及平行四邊形加法法則，平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分等內(nèi)容。
與此題最接近的是必修4課本第89面的例7：[？ABCD]的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)[M]，且[AB=a→，AD=b→]，你能用[a→，b→]表示[MA，MB，MC]和[MD]嗎？
解析 此題的設(shè)問(wèn)是[λ=]？，而題目條件支持我們輕松求出向量[a 和 b]的模，因此應(yīng)該先將條件中的等式變形得到[b=—λaλ∈R]，再運(yùn)用數(shù)乘運(yùn)算的概念來(lái)解決問(wèn)題：[λ=|b||a|=51=5。]
在2014年高考試題中還多次出現(xiàn)對(duì)向量垂直的考查，涉及的試卷有湖北卷、重慶卷和全國(guó)大綱卷。
例3 （湖北卷）設(shè)向量[a=（3，3）]，[b=（1，—1）]，若[（a+λb）⊥（a—λb）]，則實(shí)數(shù)[λ] 。
解析
[∵a→+λb→=（3+λ，3—λ）， a→—λb→=（3—λ，3+λ），]
由[（a+λb）⊥（a—λb）]知，
[（3+λ）（3—λ）+（3—λ）（3+λ）=0，]
[∴λ=±3。]
考查向量的模和數(shù)量積
山東卷比較單純地考查了數(shù)量積的概念以及其坐標(biāo)表示。
例4 （山東卷）已知向量[a→=（1，3），b→=（3，m）]。 [若向量a→，b→]的夾角為[π6]，則實(shí)數(shù)[m=]（ ）
A。 [23] B。 [3] C。 0 D。 [—3]
解析 [由a→？b→=a→？b→cosπ6得，cosπ6=32=a→？b→a→？b→]
[=3+3m2？9+m2，解得m=3。]
原型 難度與必修4課本107面的例6相當(dāng)。屬于基本難度的考題。
對(duì)向量數(shù)量積進(jìn)行考查的還有江蘇卷的第12題。
例6 如圖，在平行四邊形[ABCD]中，已知[AB=8]，[AD=5]，[CP=3PD]，[AP？BP=2]，則[AB？AD]的值是 。
解析 這道題屬于中檔題，已知條件是數(shù)量積，求解的也是數(shù)量積。 因此要分析條件和求解向量之間的關(guān)系。于是我們產(chǎn)生這樣的想法，[以AB 和AD]為基底，表示[AP 和BP]，再由已知[AP？BP=2]得到關(guān)于[AB？AD]的等式，從而求出結(jié)果。
原型 向量的數(shù)量積是把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，為解決相關(guān)的幾何問(wèn)題提供了方便，是一種重要的思想方法。 因此同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)該熟練掌握。比如在必修5正余弦定理的證明中就用到了向量數(shù)量積的方法，使得證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了。
考查平面向量的'夾角
[又cosc，a=c？a|c|？|a|]，[cosc，b=c？b|c|？|b|]，
[∴c？a|c|？|a|=c？b|c|？|b|]。
又[|b|=2|a|]，[∴2c？a=c？b]。
即[2[（m+4）+2（2m+2）]=4（m+4）+2（2m+2），]
[∴m=2。]
解法2 [由a→=5，b→=25，a→？b→=8可得，]
[c→？a→=（ma→+b→）？a→=ma→2+b→？a→=5m+8。]
[c→？b→=（ma→+b→）？b→=ma→？b→+b→2=8m+20。]
[∴5m+85=8m+2025，∴m=2。]
解法3 對(duì)于某些向量問(wèn)題，如果能夠發(fā)現(xiàn)其幾何意義，并依據(jù)幾何意義解題會(huì)使求解過(guò)程非常輕松。以這道題目為例。
因?yàn)閇c=ma+b]，且[c]與[a]的夾角等于[c]與[b]的夾角，由平行四邊形法則可知，以[ma→和b→]為鄰邊，[c]為對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形是菱形，所以[ma→=b→]，又因?yàn)閇a→=5，b→=25，] 所以[m=2]。
考查平面向量的基本定理
平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，但有些同學(xué)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不夠重視，因此在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化對(duì)定理的充分認(rèn)識(shí)和理解是很有必要的
例8 （福建卷）在下列向量組中，可以把向量[a]=（3，2）表示出來(lái)的是（ ）
考查平面向量與其他知識(shí)的交匯
數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間必然會(huì)存在聯(lián)系。向量與高中數(shù)學(xué)一些主干知識(shí)，如三角、立體幾何、解析幾何、不等式等都存在著深刻的聯(lián)系。它們之間容易形成知識(shí)的綜合或交匯。因此，向量與其它知識(shí)交匯自然受到高考命題者的青睞，應(yīng)該引起重視。
1。平面向量與二次函數(shù)交匯
例9 （浙江卷）設(shè)[θ]為兩個(gè)非零向量[a]，[b]的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)[t]，[|b+ta|]的最小值為1，（ ）
A。若[θ]確定，惟[|a|]惟一確定
B。若[θ]確定，惟[|b|]惟一確定
C。若[|a|]確定，惟[θ]惟一確定
D。若[|b|]確定，惟[θ]惟一確定
解析 令二次函數(shù)[f（t）=|b+ta|2=|a|2t2+2a？bt+|b|2，]
[∵|a|≠0， |b|≠0， ]
則當(dāng)[t=—a？b|a|2=—|b|cosθ|a|]時(shí)，[f（t）]有最小值為[|b|2sin2θ，∴|b|2sin2θ=1。]
因此，當(dāng)[θ]確定時(shí)，[|b|]惟一確定。
2.平面向量與三角函數(shù)或解析幾何交匯
例10 （湖南卷）在平面直角坐標(biāo)系中，[O]為原點(diǎn)，[A（—1，0），B（0，3），C（3，0），]動(dòng)點(diǎn)[D]滿(mǎn)足[|CD|=1，]則[|OA|+OB+OD]的最大值是 。
解法1 由[CD=1]知，點(diǎn)[D]在圓心為[C（3，0）]，半徑為1的圓上，
可設(shè)[D（3+cosθ，sinθ）， θ∈R。 ]
[∵OA+OB+OD=（2+cosθ，3+sinθ），]
[∴OA+OB+OD=8+23sinθ+4cosθ]
[=8+27sin（θ+φ），]
利用三角函數(shù)知識(shí)可知，當(dāng)且僅當(dāng)[sin（θ+φ）=1]時(shí)，[OA+OB+OD]有最大值[7+1。]
解法2 由解析幾何知識(shí)知，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)[D]的軌跡是以[C]為圓心的單位圓，所以[D]點(diǎn)的軌跡方程為：[（x—3）2+y2=1。]
又[∵OA+OB+OD=（x—1，y+3），]
于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓[C：（x—3）2+y2=1]上的點(diǎn)到點(diǎn)[M][（1，—3）]距離的最大值，最大值為[CM+1=7+1。]
3.平面向量與線(xiàn)性規(guī)劃交匯
解析 [∵OP=mAB+nAC，]
[∴（x，y）=（m+2n，2m+n）， ][即x=m+2n， y=2m+n。]
兩式相減得：[y—x=m—n。]
于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[y—x]在[△ABC]內(nèi)部及邊界求最大值的問(wèn)題。令[y—x=t，]由線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)直線(xiàn)[y=x+t]過(guò)點(diǎn)[B（2，3）]時(shí)，[t]取得最大值1，所以[m—n]的最大值為1。
總的來(lái)說(shuō)，向量問(wèn)題的解決途徑一般有兩個(gè)：一是基于幾何直觀的幾何法，二是基于坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)法。向量兼具幾何與代數(shù)的雙重特征，向量解題的工具性作用在于數(shù)形結(jié)合溝通形與數(shù)之間的關(guān)系。
簡(jiǎn)析的數(shù)學(xué)向量高考真題 2
一、基礎(chǔ)題
1、已知正方形的邊長(zhǎng)為 ， 則 ( )
A、 B、 C、 D、
2、設(shè)點(diǎn) 是△ 內(nèi)一點(diǎn)，若 ，則必有 ( )
A、點(diǎn) 是△ 的垂心 B、點(diǎn) 是△ 的外心
C、點(diǎn) 是△ 的重心 D、點(diǎn) 是△ 的內(nèi)心
3、當(dāng) ________時(shí)， ; ________時(shí)， 平分 之間的夾角。
4、在四邊形 中，若 ，則四邊形 一定是___________。
5、向量 滿(mǎn)足 ，則 的最大值和最小值分別為_(kāi)____________。
6、飛機(jī)從甲地按南偏東 的方向飛行 到達(dá)乙地，再?gòu)囊业匕幢逼?的方向飛行 到達(dá)丙地，那么丙地在甲地的什么方向?丙地離甲地多遠(yuǎn)?
二、提高題
7、一架飛機(jī)向北飛行 千米后，改變航向向東飛行 千米，試求飛機(jī)飛行的路程和位移。
三、能力題
8、已知作用在同一質(zhì)點(diǎn)上的兩個(gè)力 的'夾角是直角，且它們的合力 與 的夾角是 ， ，求 和 的大小。
簡(jiǎn)析的數(shù)學(xué)向量高考真題 3
一、填空題
已知a＝（m＋1，－3），b＝（1，m－1），且（a＋b）⊥（a－b），則m的值是________。
若向量a，b滿(mǎn)足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角θ為120°，則a· （a＋b）＝________。
已知向量a，b滿(mǎn)足（2a－b）·（a＋b）＝6，且|a|＝2|b|＝1，則a與b的夾角為_(kāi)_______。
給出下列命題：① 0·a＝0；② a·b＝b·a；③ a2＝|a|2；④ （a·b）·c＝a·（b·c）；⑤ |a·b|≤a·b。其中正確的命題是________。（填序號(hào)）
在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且AB＝1，EF＝，CD＝。若＝15，則＝__________。
已知向量與的夾角為120°，且||＝3||＝2。若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ＝__________。
已知兩單位向量e1，e2的夾角為α，且cos α＝。若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝__________。
若非零向量a，b，滿(mǎn)足|a＋b|＝|b|，a⊥（a＋λb），則λ＝________。
對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義新的運(yùn)算“？”：α？β＝。若兩個(gè)非零的平面向量a，b滿(mǎn)足a與b的夾角θ∈，且a？b和b？a都在集合中，則a？b＝__________。
已知△ABC是正三角形，若a＝－λ與向量的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________________。
二、解答題
已知|a|＝4|b|＝8，a與b的`夾角是120°。
�。�1） 計(jì)算：① |a＋b|，② |4a－2b|；
�。�2） 當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋2b）⊥（ka－b）？
已知a＝（1，2），b＝（－2，n），a與b的夾角是45°。
�。�1） 求b；
（2） 若c與b同向，且a與c－a垂直，求向量c的坐標(biāo)。
已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），c＝（－1，0）。
�。�1） 求向量b＋c的模的最大值；
�。�2） 若α＝，且a⊥（b＋c），求cos β的值。
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