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第十屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽詳細(xì)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
第十屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽（個(gè)人賽）
詳細(xì)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
出題學(xué)校：
評(píng)分總體原則
各題均不限制方法。若方法與本文不同，只要結(jié)果和主要步驟正確，即給全分；若方法不同而結(jié)果不正確，各地自行統(tǒng)一酌情給分。本文中多處用圖形解釋?zhuān)粼嚲碇形闯霈F(xiàn)相應(yīng)圖形但已表達(dá)了同樣的意思，則同樣給分。計(jì)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)或小數(shù)表達(dá)均可。
本文中用淺黃色標(biāo)識(shí)的公式和文字是給分的關(guān)鍵點(diǎn)，其后圓圈內(nèi)的數(shù)字僅為本處的所得分值。
第1題（30分）
某工廠利用傳送帶運(yùn)輸邊長(zhǎng)為b的均質(zhì)正方體貨箱。已知貨箱質(zhì)量為m，繞自身中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)傳送帶A傾角為?（??45o），慣量為J，并且 6J?mb2，速度為v0，傳送帶C水平放置，B處為剛性支承�？紤]貨箱與傳送帶之間的摩擦，設(shè)兩者之間的靜摩擦因數(shù)為
fs，動(dòng)摩擦因數(shù)為f，并且 0?f?1。
(1) 若貨箱在O處由靜止輕輕放在傳送帶A上，如圖 (A) 所示，試判斷貨箱在到達(dá)剛性支承B之前是否會(huì)翻倒，并論證你的結(jié)論。
(2) 當(dāng)貨箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶A底部時(shí)，其角部恰好與剛性支承B的頂端發(fā)生撞擊，假設(shè)撞擊過(guò)程為完全非彈性碰撞，貨箱能順利翻過(guò)剛性支承B到達(dá)傳送帶C，如圖 (B) 所示，則釋放點(diǎn)O到傳送帶A底部的位置s應(yīng)該滿足什么條件？（忽略兩個(gè)傳送帶之間的距離）
解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
(1) （本小題12分）首先分析貨箱在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)。
(A)
(B)
題 1 圖
由于貨箱靜止放置在傳送帶上，而傳送帶具有速度v0，所以初始運(yùn)動(dòng)階段，貨箱相對(duì)于傳送帶產(chǎn)生滑動(dòng)。該階段貨箱受力如圖1-a(A) 所示，圖中G為貨箱重力，F(xiàn)為摩擦力，F(xiàn)N為傳送帶給貨箱的法向反力，a1為貨箱在初始加速階段的加速度。
由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，
ma1?Gsin??F， (1-1a)
圖 1-a
FN?Gcos??0 。 (1-1b)
式中，F(xiàn)?fFN。由式 (1-1) 得貨箱質(zhì)心的加速度
(A)(B)
a1?g?sin??fcos?? 。 ① (1-2)
當(dāng)貨箱與傳送帶同速的瞬間，二者相對(duì)靜止，無(wú)滑動(dòng)摩擦。貨箱的最大靜摩擦力
Fmax?fsFN?fsGcos?。 (1-3)
此后，若貨箱重力沿斜面向下的分量 Gsin? 大于該靜摩擦力，貨箱還將繼續(xù)向下做加速運(yùn)動(dòng)，并且受力如圖1-b(A) 所示，此時(shí)滿足
Gsin??fsGcos?。 (1-4) 由上式解得
??arctanfs。 (1-5) 按照上述方法求解得該階段貨箱的加速度
(B)
a2?g?sin??fcos?? 。 ② (1-6) 當(dāng) ??arctanfs，貨箱與傳送帶同速后將一起以速度
(A)
圖 1-b
v0作勻速運(yùn)動(dòng)。
再分析貨箱是否會(huì)傾倒。貨箱相對(duì)于傳送帶滑動(dòng)過(guò)程中，可能存在兩種傾倒情況：初始加速階段繞右下角M點(diǎn)傾倒，或同速后再次加速階段繞左下角N點(diǎn)傾倒 ②。在貨箱上考慮慣性力，記貨箱在上述兩種情況下的慣性力分別為 F11 和 F12，利用達(dá)朗貝爾原理求解。如果考生只考慮了一種貨箱可能翻倒的情況，此處只給 ① 分。
首先分析貨箱繞右下角M點(diǎn)傾倒情況。設(shè) FN 距M點(diǎn)距離為 x1，如圖1-a(B) 所示，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，
?M?F??
① (1-7a)
?F?0， F?Gcos??0。 (1-7b)
M
yN
式中， FI1?ma1?G?sin??fcos?? 。 (1-8)
① (1-9)
再分析貨箱繞左下角N點(diǎn)傾倒情況。設(shè)
，如圖1-b(B)所示，同樣有
MN?F??0， ② (1-10a)
?
?F
y
FN?Gcos??0， (1-10b) ?0，
式中， FI2?ma2?G?sin??fcos??。
(1-11)
利用式 (1-10)、(1-11) 得 ② (1-12)
由于 0?f?1，所以式 (1-9) 和式 (1-12) 滿足
b?x2?0 。 (1-13) b?x1?0，
即貨箱在傳送帶A上運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)翻倒。① 如果考生只分析了一種貨箱可能翻倒的情況，但仍然得出“不會(huì)翻倒”這一結(jié)論，則此處不給分。
(2) （本小題18分）設(shè)貨箱運(yùn)動(dòng)到底部與鋼支承B撞擊之前質(zhì)心速度為v1。貨箱從O
點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到到達(dá)傳送帶C整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分三個(gè)階段。第一階段：從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到傳送帶底部并獲得速度
v1；第二階段：撞擊剛性支承B；第三階段：撞擊后貨箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶C。
先分析撞擊過(guò)程。由于貨箱和支承B碰撞過(guò)程為完全非彈性，所以撞擊后貨箱不會(huì)彈起，而是繞著碰撞點(diǎn)B作轉(zhuǎn)動(dòng) ①，碰撞前后質(zhì)心速度方向發(fā)生突變。設(shè)碰撞后貨箱質(zhì)心速度為v2，角速度為?2，碰撞前后的速度方向及碰撞沖量如圖1-c所示。
vv(A)
圖 1-c
(C)
由圖1-c(B)，碰撞沖量滿足
MB?I??0 ， (1-14)
?
所以撞擊前后貨箱對(duì)B點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，即
② (1-15)
式中，碰撞后速度 v2?
② (1-16)
再分析撞擊后貨箱的運(yùn)動(dòng)。由于碰撞結(jié)束后貨箱運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功。故可利用機(jī)械能守
② (1-17) 21
b?2，J?mb2為貨箱相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將兩式代入式 (1-15) 可
26
選取B點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，則在該位置貨箱勢(shì)能
V2?Gh2。 (1-18)
只有貨箱跨過(guò)圖1-d(B)位置，才能到達(dá)傳送帶C，設(shè)該位置貨箱的動(dòng)能為 T3，撞擊后，貨箱能翻到傳送帶
vv
C的條件是T3?0 ①。貨箱的勢(shì)能為
V3?Gh3 。 (1-19) 根據(jù)機(jī)械能守恒定律
(A)
圖 1-d
(B)
(1-20) T2?V2?T3?V3 。
將式 (1-17)~ (1-19) 代入上式得
① (1-21)
由上式解得
1
(1-22) T3?mb2?22?G?h2?h3? 。
3
因此，要滿足 T3?0，需有
①
(1-23)
22bsin(45???)，h3?b。將以上各式連同式 (1-16) 代入式 (1-23)，得貨22
箱能夠達(dá)到傳送帶C的條件是
82
v12? (1-24) gb1?sin(45???)，
3從圖1-d中易求得 h2?
??
即貨箱滑到底部，與剛支承B碰撞前至少具有如下速度
。 ③ (1-25)
最后分析撞擊前貨箱能達(dá)到該最小速度的條件。
由問(wèn)題 (1) 可知，當(dāng) ??arctanfs，貨箱與傳送帶同速后，將以速度v0作勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)若
v?
v1min，則貨箱釋放點(diǎn)位置應(yīng)滿足 0
。 ①
(1-26)
若 v0?v1min，s不管取何值，均無(wú)法滿足要求。①
當(dāng) ??arctanfs，貨箱與傳送帶同速后還將繼續(xù)向下作加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)若 v0?v1min，則貨箱速度未與傳送帶同步之前已經(jīng)達(dá)到 v1min，s的表達(dá)式同式 (1-26) ①；若 v0?v1min，則貨箱與傳送帶同速之后還需繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)直至速度達(dá)到 v1min，并且
22
v0v12min?v0
s?s1?s2? 。 (1-27) ?
2a12a2
將式 (1-2)、式 (1-6) 和式 (1-25) 代入得
。② (1-28)
第2題（25分）
動(dòng)物園要進(jìn)行猴子雜技表演，訓(xùn)猴師設(shè)計(jì)了如下裝置：在鉛垂面內(nèi)固定一個(gè)帶有光滑滑槽，半徑為 R 的圓環(huán)，取一根重為 P，長(zhǎng)為 l?3R 的均質(zhì)剛性桿AB放置在圓環(huán)滑槽內(nèi)，以便重為Q的猴子沿桿行走，已知 P?2Q。
(1) 如圖 (A) 所示，試求猴子處于距桿AB端點(diǎn)A距離為d時(shí)，桿的平衡位置？（用桿AB與水平線的夾角θ表示）
題 2 圖
(2) 設(shè)兩只重量均為Q的猴子同時(shí)進(jìn)行訓(xùn)練。訓(xùn)猴師首先讓猴甲靜坐在桿AB的A端，并且使猴甲-桿系統(tǒng)處于平衡，然后讓猴乙從桿的B端無(wú)初速的沿桿向猴甲運(yùn)動(dòng)，如圖 (B) 所示。試問(wèn)猴乙應(yīng)該如何走法才能不破壞原猴甲-桿系統(tǒng)的平衡狀態(tài)？
解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
(1) （本小題10分）解法一：采用分析靜力學(xué)方法，利 用虛位移原理尋求猴-桿系統(tǒng)的平衡位置。建立坐標(biāo)系如圖2-a所示，用K表示猴子的位置。由于A、B處為理想約束，約束力NA和NB在相應(yīng)的虛位移不做功，系統(tǒng)只有重力做功。設(shè)
AB桿的質(zhì)心為C，則圓心O到桿AB質(zhì)心C的距離
OC?OA?AC?OA?AC
2
2
2
2
??1
?R2??R??R。
?2?2??
2
顯然，在ΔOAC中，?OAC?30?，所以質(zhì)心C坐標(biāo)
圖 2-a
yC?R?Rsin??30??猴K的坐標(biāo)
??
Rsin?。 ① (2-1) 2
yK?R?Rsin??30??dsin?。 ① (2-2)
??
將式 (2-1) 和 (2-2) 分別取變分得
② (2-3a)
(2-3b) 根據(jù)虛位移原理，猴-桿系統(tǒng)平衡時(shí)有
① (2-4) P?y
C?Q?yK?0。
將式 (2-3) 代入得
③ (2-5)
2d?R
或 tan??。
3R
解法二：采用剛體靜力學(xué)方法，直接列平衡方程求解。系統(tǒng)受力如圖2-b所示，建立圖示坐標(biāo)系，垂直于桿方向?yàn)閤軸, 沿AB軸方向?yàn)閥軸。用K表示猴子的位置。對(duì)系統(tǒng)列平衡方程，
Fx?0，
(NA?NB)cos60o?(P?Q)cos??0，
Fy?0，
(NA?NB)cos30o?(P?Q)sin??0，
N
??
圖 2-b
?M
A
(F)?0，
l
NBlcos60o?P?cos??Qdcos??0，
2
???。 ?
由上面第一式和第二式得
?sin?cos? NB?3Q???
?代入第三式得
tan??
2d?R
。 3R
(2) （本小題15分）根據(jù)第 (1) 題的結(jié)論，當(dāng)猴甲靜坐在桿A端時(shí)，d?0，代入式 (2-5) 可得猴甲-桿系統(tǒng)平衡時(shí)桿的初始位置角 ?0?30o。取B點(diǎn)為原點(diǎn)，s軸沿BA方向，
?，則作用在猴乙上的慣性力大小為 s設(shè)猴乙的加速度為?
。 ①
(2-6)
當(dāng)猴乙運(yùn)動(dòng)到桿上任意位置時(shí)其慣性力方向及系統(tǒng)受力如圖2-c所示。對(duì)猴-桿系統(tǒng)運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，
MO(F)?0，
圖 2-c
。⑤ (2-7) 將式 ③ (2-8) 。
上式即為保持原猴甲-桿系統(tǒng)平衡狀態(tài)不變的情況下，猴乙的運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足的微分方程。上式對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為
g
?BsinR
g
t ， (2-9) R
s1?Acos
易知微分方程 (2-8) 的一個(gè)特解可取為 s2?C，代入式 (2-8) 可得
s2?C?
2R
。
(2-10) 3
。 ③ (2-11) 故微分方程 (2-8) 的通解為
式中，A和B為積分常數(shù)，可由初始條件確定。當(dāng)t ? 0時(shí)，猴乙在桿的B端，而且初速度為0，所以初始條件為：當(dāng)t ? 0時(shí)，
??0。 (2-12) s?0，s
利用上述條件，可求得積分常數(shù)
2R
， B?0。 (2-13) 3
將式 (2-13) 代入式 (2-11) 可得猴B的行走規(guī)律
A??
③ (2-14) 。
即猴乙按照上述規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，不會(huì)破壞原猴甲-桿系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。
第3題（30分）
如圖傳送裝置中，AB是一段橫截面為矩形的梁，A端自由，B端固定。截面寬度為b，高度為
h(h?2b)。彈性模量為 E，泊松比為 ?。設(shè)傳送帶連同帶上分布均勻的散裝物在單位長(zhǎng)度上的重
量為q，傳送帶給予AB梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的切向作用力為t。建立圖示的坐標(biāo)系，考慮離A端為已知長(zhǎng)度
L (L?5h) 的C截面，假定該截面中水平直線上的切應(yīng)力均勻分布。
(1) 若q和t為已知，試確定C截面的上邊緣P點(diǎn)和下邊緣Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，畫(huà)出單元體示意圖，并寫(xiě)出各應(yīng)力分量的表達(dá)式。
(2) 若q和t為已知，試求C截面上切應(yīng)力的表達(dá)式。
(3) 事實(shí)上，q和t的數(shù)值不易直接得到。為了用電測(cè)法測(cè)定q和t的具體數(shù)值，擬在C截面所在區(qū)域且垂直于C截面的外表面上貼應(yīng)變片。暫不考慮溫度補(bǔ)償片及組橋連接等事宜，先設(shè)計(jì)一個(gè)貼片最少的方案，并說(shuō)明如何利用這些應(yīng)變片的讀數(shù)來(lái)求得q和t的數(shù)值。
解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
題 3 圖
(1) （本小題6分） AB部分可簡(jiǎn)化為上表面承受均布的豎向荷載q和切向荷載t的懸臂梁，如圖3-a所示。在梁中截取坐標(biāo)為x的截面，如圖3-b所示。由平衡條件可導(dǎo)出，該截面上各內(nèi)力分量
FN?tx， FS??qx， (3-1)
截面上的正應(yīng)力由拉伸應(yīng)力 ?N 和彎曲應(yīng)力 ?M 構(gòu)成。對(duì)于坐標(biāo)為x的截面上坐標(biāo)為y的點(diǎn)， FNtxMy6(qx2?htx)y?， ?
M??， ?N??
bh3AbhI
?x??N??M
(3-2)
圖 3-a
圖 3-b
特別地，在C截面，x?L。其上邊沿P點(diǎn)處，y?
h
，故 2
tL
?x? ①
(3-3)
bh ① ① 此處的第二式若無(wú)負(fù)號(hào)，但單元體圖正確，也給 ① 分。
P點(diǎn)處于雙向應(yīng)力狀態(tài)，其單元體示意圖如圖3-c所示。
h
在C截面下邊沿Q點(diǎn)，y?
?，故
2
2
tL3(qL?htL)? ?x? 2
① (3-4)
由于梁的下表面是自由表面，故 ?y?0，?xy?0。Q點(diǎn) 處于單向應(yīng)力狀態(tài)，其單元體示意圖如圖3-d所示。
圖 3-d ①
(2) （本小題10分）為了導(dǎo)出截面上任意處的切應(yīng)力 ?的一般表達(dá)式，在C截面附近截取梁中的一個(gè)微段 dx，再截取其坐標(biāo)為y的水平面以上直到上邊沿的部分，如圖3-e所示。其左截面（圖中灰色區(qū)域）正應(yīng)力的合力按照實(shí)際的方向（即圖中所標(biāo)識(shí)的方向）應(yīng)為
FNM
F??dA??ydA?dA。
IAA
AA
故有 ②
(3-5) ?
?
?
?
?
?
式中，S?A?是該區(qū)域的面積，即 ② (3-6)
圖 3-e
圖4- e中右截面上的正應(yīng)力的合力可記為 (F?dF)。
記微元區(qū)段左截面上坐標(biāo)為y處的切應(yīng)力為 ?(y)，方向向上。根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知圖3-e所示區(qū)域中，下截面上的切應(yīng)力數(shù)值也為 ?，且方向向右。由這個(gè)區(qū)域在x方向上的力平衡可得
?F?tdx??bdx?(F?dF)?0。②
S?dMA?dFN
t1dFt
??。 故有 ?????
bdxbbIdxbAdxb將式 (3-1) 代入上式便可得
S??ht?t?A??
?1?????qx?????。 2?b?bI?A??
將式 (3-6) 代入上式便可整理得
?3qx?4y2?t?4y12y2??
? ?(x,y)????1?h2???4b??1?h?h2???。 (3-7a)
2bh?????? ④ (3-7b) 這就是所求的切應(yīng)力的表達(dá)式。負(fù)號(hào)說(shuō)明切應(yīng)力的實(shí)際方向與圖3-e所，單元體的切應(yīng)力方向如圖3-f示方向相反。例如，形心軸處（y?0）所示（圖中未標(biāo)出正應(yīng)力）。
計(jì)算方向
實(shí)際方向
如果考生在圖3- e中，假設(shè)切應(yīng)力?的方向是向左的，那么式 (3-7) 中就沒(méi)有負(fù)號(hào)。
圖 3-f
(3) （本小題14分）在C截面所在區(qū)域的各外表面中，上表面有傳送帶覆蓋，貼應(yīng)變片不大現(xiàn)實(shí)。故只有側(cè)面和下表面比較合適。同時(shí)，太靠近棱邊的區(qū)域貼片，可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)不夠真實(shí)，也是應(yīng)該避免的。
由于各應(yīng)力分量沿y方向連續(xù)分布，因此可以預(yù)料，在截面上存在著應(yīng)力分量 ?x，?y 和 ?xy。其中 ?xy 對(duì)沿坐標(biāo)軸方向的線應(yīng)變沒(méi)有影響，但對(duì)其他方向的線應(yīng)變有影響，因此，如果所貼應(yīng)變片是沿坐標(biāo)軸方向的，一枚沿軸向，記為 ?(1)??x，另一枚垂直于軸向，記為 ?(2)??y，那么，由平面問(wèn)題的廣義胡克定律，
11
?x?(?x???y)， ?y?
(?y???x)，
EE
可得 ② (3-8)
上式涉及正應(yīng)力分量 ?y，這個(gè)分量可按下述方法進(jìn)行分析。
在圖4-e中，根據(jù)式 (4-7a)，微段左截面上坐標(biāo)為y的水平線以上的部分切應(yīng)力的合力為
hh2
FQ????bdy??
y
?
y
?3qx?4y2?t?4y12y2??
????2?1?2?1??dy ?????h?4?hh???2h?
⑤ 由y方向上的力平衡，如圖4-e，有
FQ?qdx?(FQ?dFQ)??ybdx?0，①
q1dFQqq?3y4y3?
???
??3?1?即得 ?y???， ??bbdxb2b?hh?
即 ② (3-9) 這樣，?x 和 ?y
的一般表達(dá)式分別由式 (3-2)
和式 (3-9) 給出。
可在C截面區(qū)域的側(cè)面的不同位置粘貼應(yīng)變片，從而構(gòu)成不同的貼片方案。 第一種方案：可選擇在側(cè)面中線的K處貼片，如圖3-g所示。在該處，
② 故有
① (3-10a)
①
(3-10b)
h
第二種方案：可選擇在側(cè)面中線上方的S處貼片，S處距中線 ，如
4
圖3-h所示。在該處，
② 由式 (3-8) 可知，
5htL?3qL2E
?(?(1)???(2))， 2
2bh1
??
E27q?(?(2)???(1))， ?
32b1??2
由式 (3-8) 可知，
EtL
?(?(1)???(2))，
bh1??2
Eq
??(?(2)???(1))， 2b1??2
圖 3-g
C
圖 3-h
故有 ① (3-11a)
注意：如果考生沒(méi)有求出 ?y 的表達(dá)式，直接考慮貼片，那么，應(yīng)變片可用3片。以下的三種
方案，若算式都正確，則本小題統(tǒng)一給 ⑥ 分。
第三種方案：可選擇在側(cè)面中線的K處貼片，并貼成如圖3-i所示的直角應(yīng)變花。由于在中線上，與式 (3-10a) 相同，
Ebh
(?(1)???(2))。 t?
L(1??2
)
由式 (3-7) 可知，在K處的切應(yīng)力按照其實(shí)際方向，可寫(xiě)為
?xy
?故有 ?xy?
6qL?ht
， 4bh
圖 3-i
?xy
G
?
(1??)(6qL?ht)
。
2Ebh
在K處沿45°方向上的線應(yīng)變
?(3)?
故有 q??
111(1??)(6qL?ht)?， ?(1)??(2)???xy???(1)??(2)??2224Ebh
?Ebh?h
????????????2(1)(2)(3)(1)(2)?。 ?3L(1??)?2L(1)???
第四種方案：除了在中線K處沿坐標(biāo)軸方向貼片之外，再在底面沿軸向貼片，如圖3-j所示。應(yīng)變片共計(jì)仍用3片。
與第一、第二種方案類(lèi)似，由 ?(1) 和 ?(2) 可得式 (3-10a)：
t?
Ebh
(?(1)???(2))。
L(1??)
在C截面所在底面處沿軸向貼一枚應(yīng)變片?(3)，該處處于單向應(yīng)力狀態(tài)，由式 (3-4) 可知，
E?(3)??
2htL?3qL
，
bh2
2
圖 3-j
將式 (3-10a) 代入上式即可得
2(?(1)???(2))?Ebh2?
?? q???(3)?。
3L?1???
第五種方案：在第四種方案中，應(yīng)變片?(1) 和 ?(2)不一定要選擇在側(cè)面的中線K處，也可選擇在側(cè)面的S處貼片，該處的縱坐標(biāo)為y0，如圖3-k所示。由式 (3-2) 可知，
2
tL6(qL?htL)y0
?， ?x?3
bhbh
2
EtL6(qL?htL)y0
?即 ?(?(1)???(2))。 3
bhbh1??2
另外，在C截面所在底面處沿軸向貼一枚應(yīng)變片?(3)，與第四種方案相同，
E?(3)
2htL?3qL2
??。
bh2
?1
圖 3-k
上兩式構(gòu)成關(guān)于t和q的線性方程組，聯(lián)立求解可得 Ebh??(1)???(2)2y0?(3)??2y0?
t???， ???1?
L?1??2h??h?
2Ebh2??(1)???(2)?13y0???2y0?
q??????。 ??(3)??1??
3L2?1??22hh?????
?1
顯然，側(cè)面的兩枚應(yīng)變片也可以貼在中線的下方。
第4題（35分）
如圖橫梁的長(zhǎng)度為 1600mm，橫截面是底邊 b?40mm，高度h?60mm的矩形。梁的左端A
為固支端，右端B自由。材料性能常數(shù) E?95GPa，屈服極限 ?s 和比例極限 ?p 均為250MPa。 今有一批質(zhì)地均勻、每塊重量為 3.2kN、長(zhǎng)度也為 1600mm的軟金屬板需要整齊地疊放在梁上，如 圖 (A) 所示�，F(xiàn)擬用一根長(zhǎng)度為 1800mm、直徑 d?36mm、材料與橫梁相同的圓桿來(lái)提高橫梁的承載能力。限于條件，只有梁下方1000mm處的地基可以對(duì)圓桿提供支撐；而且圓桿兩端都只能用球鉸與橫梁和地基相連接。兩個(gè)鉸支座的水平位置可以根據(jù)需要分別隨意調(diào)整，圓桿的長(zhǎng)度也可以
- 11 -
隨之而任意截取，如題圖 (B) 所示。
(1) 定性分析：如何使用這根圓桿，使之與橫梁形成合理的結(jié)構(gòu)，才能盡可能多地放置金屬板？ (2) 不計(jì)橫梁和圓桿的重量，根據(jù)問(wèn)題 (1) 的要求，設(shè)橫梁和圓桿的安全因數(shù)均為 [n]?2，設(shè)計(jì)和定量地計(jì)算這一結(jié)構(gòu)。結(jié)果中長(zhǎng)度精確到 0.1mm。
(3) 根據(jù)你的設(shè)計(jì)，加上支撐后的橫梁最多可以堆放多少塊金屬板？
(A)
題 4 圖
解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
(1) （本小題7分）橫梁的右部增加一個(gè)斜撐，實(shí)際上增加了一個(gè)向上的力和向右的力。向上的力可以改善橫梁的彎曲強(qiáng)度，故不可缺少。但向右的力使橫梁產(chǎn)生拉彎組合變形，加大了橫梁橫截面上的最大正應(yīng)力，故該項(xiàng)作用力對(duì)強(qiáng)度不利。若要完全消除向右的作用力，則圓桿應(yīng)處于鉛垂位置。另一方面，對(duì)斜撐而言，由于是受壓桿，可能存在穩(wěn)定問(wèn)題。圓桿越長(zhǎng)，穩(wěn)定性越差。因此，圓桿處于鉛垂位置具有最好的穩(wěn)定性。所以，使圓桿處于鉛垂位置是應(yīng)該采用的方案。（關(guān)鍵詞：鉛垂放置③）
在圓桿處于鉛垂的情況下，圓桿的左右位置的調(diào)整也是一個(gè)可以提高橫梁強(qiáng)度的措施。（關(guān)鍵詞：左右調(diào)整②）
同時(shí)，還可以將圓桿的長(zhǎng)度取得比 1000mm 略長(zhǎng)，利用裝配應(yīng)力（即預(yù)應(yīng)力）來(lái)提高橫梁的強(qiáng)度。（關(guān)鍵詞：裝配應(yīng)力②）
(2) （本小題26分）金屬板的重量可簡(jiǎn)化為作用在懸臂梁上的均布荷載q。記豎桿安置在距右端B為a的C處，把豎桿的支撐簡(jiǎn)化為向上的作用力R，其力學(xué)模型和彎矩圖如圖4-a所示。在這種情況下，彎矩存在著三個(gè)峰值，即位于AC之間的 MK，A截面的 MA ，以及C截面的 MC。要使橫梁的強(qiáng)度得到充分利用，應(yīng)有
① (4-1) MK??MA??MC。
以B端為原點(diǎn)，x坐標(biāo)向左。C截面的彎矩
① (4-2a) 在C截面左面，彎矩為
M(x)?R(x?a)?
12
qx (x?a)， 2
R
其極值點(diǎn) xK?，該截面的彎矩
q
① (4-2b)
固定端A處的彎矩
- 12 -
M
圖 4-a
① (4-2c) 和 ② (4-3b)
11
故有 Mmax?qa2?(
9?42)qL2。
298
1
由于橫梁的抗彎截面系數(shù) W?bh2，故強(qiáng)度條件是
6
式 (4-2) 的三式聯(lián)立，即可解得
， ② (4-3a)
?max
Mmax?3qL2
(9?42)?s， ??2
W49bh[n]
由此可得許用荷載
49?40?602?250
?34.35N/mm。 ② (4-4) 3?(9?4)?2?16002相應(yīng)地，C處的支承反力
R?34659.90N。 (4-5)
記橫梁橫截面慣性矩為 I1，下面用不同的方法計(jì)算在R和q的共同作用下C處的撓度 wC。
方法一（疊加法）：C處的撓度 wC可按圖4-b所示的簡(jiǎn)化模型計(jì)算，即（向上為正）
(R?qa)(L?a)3q(L?a)4?12?(L?a)2
wC? ??qa??
3EI18EI1?2?2EI1
q?(L2?2La?5a2)(L?a)2 ⑥ (4-6a) 24EI1
上式中代入 a?417.926mm，q?[q]?34.35N/mm等數(shù)據(jù)，可得
wC?10.214mm。 ① (4-6b)
或者：wC 可以直接用q來(lái)表達(dá)。
(R?qa)(L?a)3q(L?a)4?12?(L?a)2
wC? ???qa?
3EI18EI122EI??1
2(113?722)qL424(113?72)qL4??
7203EI17203Ebh3
44
?2qL?3qL?3.7240?10。 ?3.1033?10
Ebh3EI1在上式中代入 q?[q]?34.35N/mm 等數(shù)據(jù)，即有
0.03724?34
第十屆全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽詳細(xì)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) .35?16004wC??10.214mm。
95?103?40?603
或者：wC 還可以直接代入數(shù)值計(jì)算。
11
EI
1?Ebh3??95?103?40?603?6.84?1010N?mm2，
1212
(R?qa)(L?a)3
?163.4267mm，
3EI1
- 13 -
圖 4-b
q(L?a)4
?122.5700mm，
8EI1
?12?(L?a)
?30.6425mm， ?qa?
22EI??1
2
wC?163.4267?122.5700?30.6425?10.214mm。
方法二（圖乘法）：將原有荷載分解為如圖4-c左方所示的三種荷載，畫(huà)出相應(yīng)的彎矩圖。同時(shí)，在
C處加上向上的單位力，畫(huà)出其彎矩圖。各彎矩圖如圖4-c右方所示。故有：
EI1wC?
qa(
q(L圖 4-c
121q3
R(L?a)?(L?a)?(L?a)??(L?a)2?(L?a)?(L?a) 23324
qa211??2a?qa2?
?(L?a)?(L?a)??qa?L???()?L?a?(L?a)， ??
2??2?2?322
(L?a)2
故有 wC?8R(L?a)?q(3L2?2La?a2)。
24EI1
1
將 R?q(L?a) 代入上式，即可得
2
(L2?2La?5a2)(L?a)2? wC?(L2?2La?5a2)(L?a)2?10.214mm。 3
24EI12Ebh
??
wC 為正，說(shuō)明豎桿的長(zhǎng)度應(yīng)比基本長(zhǎng)度H更長(zhǎng)。記豎桿的長(zhǎng)度為 H??H??，豎桿的橫截面
積為A2，由于豎桿為壓桿，故有協(xié)調(diào)條件：
②
?1
???RH???RHR?R
??????ww故有
???11???????C??C??①
???EAEAEAEA2?2???2???2
4?
34659.9?10004RH
??w??10.214?10.572mm。 C
Eπd295
?103?π?362所以，應(yīng)取立柱高度
- 14 -
H??H???1010.57mm。 ① (4-7)
下面校核立柱的安全性。由于立柱承受壓力，故考慮其柔度。由已知，?p??s，
①
① 故撐桿是大柔度桿 ，應(yīng)該考慮其穩(wěn)定性。記 I2 為撐桿橫截面慣性矩，由于軸力 FN2?R，故有
Fcr?
③ (4-8)
n?R所以撐桿安全。由此看來(lái)，選定 H??1010.57mm 是合適的。
結(jié)論：截取圓桿長(zhǎng)度 H??1010.6mm，使之處于鉛垂位置，在離右端 a?417.9mm 處與橫梁強(qiáng)行安裝。這樣制成的結(jié)構(gòu)具有最大的許用荷載 [q]?34.35kN/m。
①
[q]34.35
??17.18。 (4-9)
[q0]2
(3) （本小題2分
）每塊金屬板的分布荷載
即加上支撐后結(jié)構(gòu)最多可以放置17塊金屬板。①
注意：求解本題考生可能會(huì)采取以下不夠完備的方案�？蓞⒖既缦略u(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
方案1（本方案6分） 在B端加高度 H?1000mm 的豎直撐桿，如圖4-d 所示。
這種情況下，協(xié)調(diào)條件為
② ①
3HI1Hbh31000?40?603
??5.1808?
10?4。 式中， ???23323
π?36?1600A2LπdL
圖 4-d
彎矩最大值出現(xiàn)在固定端，
1?4?
?1.0016。 式中，
1??
① 容易看出，?體現(xiàn)的是豎桿彈性的影響。上述計(jì)算表明，這個(gè)影響是非常微小的，忽略它所引起的誤差小于0.2 ?。這樣，強(qiáng)度條件可簡(jiǎn)單地寫(xiě)為
Mmax3qL2?s
?max?。 ??
W4bh[n]由此可得許用荷載
①
- 15 -
因此，在這種情況下，最多可以放置4塊板材。①
方案2（本方案10分） 在B端加上高度大于H?1000mm的豎直撐桿，利用裝配應(yīng)力的方案，如圖4-e 所示。
由于豎桿變形對(duì)強(qiáng)度的影響很小，故忽略。設(shè)右端支座的支反力為 R ，撐桿比 H?1000mm 多出?，根據(jù)右端B處的協(xié)調(diào)條件可得：
②
33EI
故有 R?qL?3?。
8L
由此可得左端支反力及支反力偶矩
1
F?qL?R， m?qL2?RL。
2
由此可知，彎矩峰值出現(xiàn)在A、K兩個(gè)截面上（如圖4-f）。由
FRqL?RR
? 即 ?，
LssLss??
可得 s?
圖 4-e
R
。
q
x
① ①
最佳的 ? 值，應(yīng)使 MA?MK，即
R212
qL?RL?，
22q即 R2?2qLR?(qL)2?0。 可得 R?(2?1)qL。
將上式代入R的表達(dá)式即可得最佳的 ? 值：
(82?11)qL4(82?11)qL4
。
???
2Ebh324EI
①
可得這種情況下的許用荷載
②
因此在這種情況下，最多可以放置6塊板材。①
同時(shí)，豎桿在 H?1000mm 的基礎(chǔ)上應(yīng)該增加的長(zhǎng)度為
②
方案3（本方案12分） 未考慮預(yù)應(yīng)力，但考慮了豎桿左右平移的方案。
若不考慮預(yù)應(yīng)力，如圖4-g 所示，也不考慮立柱的變形，那么C處就相當(dāng)于增加一個(gè)鉸。顯然C處支座的支反力 RC 隨著a的位置的變動(dòng)而變化；或者說(shuō)，這種情況下，可以調(diào)整的因素只剩下a。
- 16 -
根據(jù)C
② ①
①
C ①
K ①
由于可調(diào)因素只有a，故不可能取 MK??MA??MC。最佳的 a 值，應(yīng)使 MA?MC ①，即
11
q?L
2?2La?a2??qa2，
28
即 5a2?2La?L2?0。
故有 ②
圖 4-g
注意上式與式 (4-3a) 中的 a?417.9
mm 相比，向中部靠近了約 46mm。
① 根據(jù)上述結(jié)果可以算出，當(dāng) MA?MC 時(shí)，
1
MK?7?26qL2?MA。
100
1
由此可知，MA?MC?7?2qL2 是這種情況下的最大彎矩。
50
1
可以看出，在B處鉸處于 a?6?1L 位置上時(shí)，如果鉸再往左移，則 MC 將會(huì)增加；如
5
1
果鉸再往右移，則MA將會(huì)增加。因此，MA?MB?7?2qL2 是B處鉸移動(dòng)時(shí)所可能產(chǎn)生
50
的最小彎矩。
??
?
??
??
用彎曲強(qiáng)度條件，
① 便有
[q]27.89
??13.94。
[q0]2
這意味著，板材放置14塊有困難。同時(shí)還可以看出，若將鉸換為立柱，實(shí)際上使C處的豎向位移的剛性約束變?yōu)閺椥约s束，許用荷載將再次略略降低，因此最多放置13塊的結(jié)論比較合適。①
- 17 -
?max
Mmax3(7?26)qL2?s???，
W25bh[n]
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