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高中數(shù)學平面向量知識點歸納和測試題
必修四 第二章 平面向量
1.在△ABC中，AB?c，AC?b．若點D滿足BD?2DC，則AD?（ ） A．
21b?c 33
B．c?
5
32b 3
C．
21b?c 33
D．b?
1
32c 3
2.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若AB?(2,4)，AC?(1,3),則BD?（ ） A． （－2，－4）
B．（－3，－5） C．（3，5）
D．（2，4）
3設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,則
AD?BE?CF與BC( )
A.反向平行
.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
4.關于平面向量a，b，c．有下列三個命題：
，k)，b?(?2，6)，a∥b，則k??3． ①若ab=ac，則b?c．②若a?(1
③非零向量a和b滿足|a|?|b|?|a?b|，則a與a?b的夾角為60． 其中真命題的序號為 ．（寫出所有真命題的序號）
?的值為() 5.若過兩點P1(-1,2),P2(5,6)的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段PP12所成的比
A －
1
3
B －
1 5
C
1 5
D
1 3
( )
D．2
( )
→→→
6．已知正方形ABCD的邊長為1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，則a＋b＋c的模等于
A．0
B．22
2
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，則向量a在向量b上的投影等于
A．－4
B．4
12
C5
125
( )
8．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于
13A．－＋22
13－b 22
31C.a－b 22
31D．－a
22
( )
9．與向量a＝(13)的夾角為30°的單位向量是
13
A．(，或(1，3)
22
B．(
31
) C．(0,1) 22
D．(0,1)或
3122( )
11
10．設向量a＝(1,0)，b＝()，則下列結論中正確的是
22
A．|a|＝|b|
B．a(chǎn)·b＝
2
2
C．a(chǎn)－b與b垂直 D．a(chǎn)∥b
11．已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物
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體上一點，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力f4，則f4等于 A．(－1，－2)
( ) D．(1,2)
B．(1，－2) C．(－1,2)
12.已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a?c)?(b?c)?0,則c的最大值( )
A.1 B.2 C.2 D.
2
2
b?a·b＝ . 13.若向量a、b滿足a?b?1,a與b的夾角為120°，則a·
14.如圖，平面內(nèi)有三個向量OA、、,其中OA與的夾角為120°，OA與的夾角為30°,且|OA|＝||＝1，||＝2，若＝λOA+μλ，μ∈R）,則λ+μ的值為.
?aa?
c=a-bab?0a??b，則向量a與c的夾角為（ ） 15．若向量與不共線，，且
ab??
A．0
B．
π
6
C．
π 3
D．
π 2
16．若函數(shù)y?f(x)的圖象按向量a平移后，得到函數(shù)y?f(x?1)?2的圖象，則向量a=（ ）
，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1
3)，a在b
上的投影為17．設a?(4，
，b在x軸上的投影為2，且|b|≤14，則b為（ ） 2
C．??2?
14) A．(2，
B．?2，?
?
?2?? 7???2?7?
8) D．(2，
18．設兩個向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?為實數(shù)．若a?2b，則
?
?
m2
??
?
8] 的取值范圍是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[4，
m
Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
19．直角坐標系xOy中，i，j分別是與x，y軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，若
????
AB?2i?j,AC?3i?kj，則k的可能值個數(shù)是（）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3
Ｄ．4
→→
20．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，則△ABC的形狀為
A．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形
B．等邊三角形
( )
D．等腰直角三角形
( )
21．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a與b的夾角是鈍角，則λ的取值范圍是
10
，＋∞? A.??3?
10
? B.??3?
10
－∞， C.?3?
10
－∞， D.?3?
22．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
23．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________. 24．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則實數(shù)k的值為________． 25．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b與a－kb垂直，則k＝（ ） （A） ?1?2（B）
?
?
?
?
?
?
2?1（C） 2?3（D） 3?2
課堂小測
1.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點
F．若AC?a，BD?b，則AF?（ ）
A．
11a?b 42
B．
21
a?b 33
C．
11
a?b 24
D．a(chǎn)?
1
32b 3
2.已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2AC?CB?0，則OC?（ ） A．2OA?OB
B．?OA?2OB
C．
21
OA?OB 33
D．?OA?
1
32
OB 3
?xπ??π?
?2?平移，則平移后所得圖象的解析式為（） 3．將y?2cos???的圖象按向量a????36??4??xπ??xπ?
Ａ．y?2cos????2 Ｂ．y?2cos????2
?34??34??xπ?
Ｃ．y?2cos????2
?312?
?xπ?
Ｄ．y?2cos????2
?312?
CD?4．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD?2DB，
A．
1
CA??CB，則??（ ） 3
2 3
B．
1 3
C．?
1 3
D．?
2 3
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x等于
A．6
( )
B．5 C．4 D．3
6．已知a，b，c在同一平面內(nèi)，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝
7．已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，當實數(shù)k為何值時：
(1)c∥d；(2)c⊥d.
8．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； →→→
(2)設實數(shù)t滿足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．
，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a與b的夾角． 2
→→→→→→→→→
9．已知向量OP1、OP2、OP3滿足條件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.
求證：△P1P2P3是正三角形．
10．已知正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點，BE、CF交于點P.求證：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
1
解7 由題意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
2
9
(1)當c∥d，c＝λd，則5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k5
29
(2)當c⊥d時，c·d＝0，則(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.
14→→→→→→
解8 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，求兩條對角線的長即求|AB＋AC|與|AB－AC|的大�。� →→→→→→→→
由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→(2)OC＝(－2，－1)， ∵(AB－tOC)·OC＝AB·OC－tOC2， 11→→→→→→易求AB·OC＝－11，OC2＝5， ∴由(AB－tOC)·OC＝0得t＝－.
5
→→→→→→→→→
證明9 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，
→→
1OP·OP1→2→2→→→2→→
∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1·OP2＝|OP3|， ∴OP1·OP2＝－，cos∠P1OP2＝，
22→→
|OP1|·|OP2|→→→
∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝
→→
?OP2－OP1?2＝
→→→→OP12＋OP22－2OP1·OP2＝3.
→→
同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝故△P1P2P3是等邊三角形．
證明10 如圖建立直角坐標系xOy，其中A為原點，不妨設AB＝2， 則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)． →→→
(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→
CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→∵BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→→
(2)設P(x，y)，則FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，
→→→→
∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 686868→→→→
. ∴AP2＝??2＋??2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB. 解得x＝，∴y＝，即P??55?5??5?55
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