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選擇與規(guī)則（下）
按打分法，最后的抉擇方案是Ｃ。但是，假定甲知道其他人的偏好，他便可能將全部分都給予Ａ，從而使得Ａ獲勝。其他人也可能會采取類似的做法，并且完全有理由這樣做。這正是投票策略的情況。另外，當(dāng)一些人知道自己最贊成的方案不會當(dāng)選時，便會轉(zhuǎn)而將選票投給第二好的方案，以避免更壞的可能性發(fā)生。從理論上來看，一種投票規(guī)則對偏好強(qiáng)度越敏感，給策略行為提供的機(jī)會也就越大。策略行為的另一個方面是選票交易，在簡單多數(shù)規(guī)則下，獲勝的多數(shù)將得到的利益可能少于失敗的少數(shù)而付出的代價。在這種情況下，少數(shù)人便可能試圖進(jìn)行選票交易，以防止這樣的情形發(fā)生。這時的選票交易可能有兩種情況：一是一些人賄賂另一些人，使他們投票贊成自己所贊成的方案。二是兩個方面達(dá)成某種協(xié)議，在一類問題上甲方支持乙方，換取乙方在另一類問題上支持甲方。在這類交易不損害第三方的情況下，選票交易有助于增進(jìn)帕累托有效性，因為顯然只有當(dāng)交易使有關(guān)各方至少一方獲利，并且不損害任何一方時，它才能獲得有關(guān)各方的贊同。選票交易有利于效率的提高，但是它卻會引起高額的交易成本，并因此而使得政治過程復(fù)雜化，不利于民主政治，因此在政治上往往受到限制甚至禁止，寧可鼓勵棄權(quán)，也不鼓勵交易。三是無論是復(fù)數(shù)投票法還是打分投票法，雖然增加了解決投票悖論的可能性，但它們依然可能出現(xiàn)投票悖論。
四、單峰定理
阿羅的不可能定理表明，任何一種公共選擇的投票方法均不可能完全解決投票悖論，因為任何公共選擇規(guī)則都不可能滿足他所提出的五項條件。根據(jù)許多學(xué)者的研究，偏好的單峰性是滿足這五項條件的前提。如果對個人偏好形式加以適當(dāng)?shù)南拗疲陀锌赡芨淖兤玫亩喾逍�，從而解決投票悖論。鄧肯?布萊克由此提出了著名的單峰定理。他認(rèn)為，通過對個人的偏好進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗�，使其適合于某一種類型，則多數(shù)決策結(jié)果就滿足可傳遞性假定。單峰定理就是如果投票者滿足偏好的單峰性，并且投票者的數(shù)目是奇數(shù)，那么多數(shù)法將滿足可傳遞性。
單峰的數(shù)學(xué)涵義是：設(shè)n個投票者的效用函數(shù)是U1 (X),…,Un (X),Ui (X)(i=1,…,n)定義在可供選擇的社會狀態(tài)的集合S上，那么在二維平面上，若將S標(biāo)在橫軸上，將Ui (X)(i=1,…,n)表在縱軸上，則至少存在S的一種排列，使得Ui (X)的幾何圖形均有一個高峰。
上面投票程序決定投票結(jié)果的做法實(shí)際上就是利用限制定義域的方式來使偏好具有單峰性。如對于A、B、C三個方案，可以先把偏好定義域限制在Ａ與Ｂ，兩者相比Ｂ優(yōu)于Ａ，具有單峰性；把定義域限制在Ｂ與Ｃ，兩者相比Ｂ優(yōu)于Ｃ；再把定義域限制在Ａ與Ｃ，兩者相比Ｃ優(yōu)于Ａ。這樣多數(shù)決策的結(jié)果就滿足可傳遞性條件，社會選擇的偏好順序?qū)⑹牵?gt;Ｃ>Ａ。
單峰定理表明，在單峰型的偏好結(jié)構(gòu)中，多數(shù)決策的結(jié)果是具有穩(wěn)定性的。這就克服了投票悖論結(jié)果的不穩(wěn)定性。不過單峰定理雖然創(chuàng)造了社會偏好的連續(xù)性，但違背了無限制定義域的假定。因此，在投票實(shí)踐中，單峰定理也不過是在理論上給出了如何創(chuàng)造投票結(jié)果，而并未解決從個人偏好推導(dǎo)出集體偏好的問題。
不過布萊克的單峰定理依然是有意義的。因為它給出了從個人偏好推導(dǎo)出集體偏好的條件的
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